[文学]23区间估计.pptVIP

(三) 单侧置信区间 定义 对于给定的 ? (0 ? 1) , ? 是待估参数 是总体 X 的样本, 若能确定一个统计量 使得 则称 为置信度为1 - ? 的单侧置信区间. 单侧置信下限 单侧置信上限 例3 已知灯泡寿命X 服从正态分布, 从中 随机抽取 5 只作寿命试验, 测得寿命为 1050 , 1100 , 1120 , 1250 , 1280 (小时) 求灯泡寿命均值的单侧置信下限与寿命 方差的单侧置信上限. 解 未知 (1) 选取枢轴量 (2) 选取枢轴量 若总体 X 的分布未知, 但样本容量很大, 由中心极限定理, 可近似地视 若?2已知, 则 ? 的置信度为1 - ? 的置信区间 端点可取为 若?2未知, 则 ? 的置信度为1 - ? 的置信区间 端点可取为 (四) 非正态总体均值的区间估计 此时总体分布未知!! 于是 不是同等置信区间！！！ 要提高精度，可以增大样本容量n 例5 设 X 服从参数为 p 的0-1分布, 样本为 求 p 的置信度为 1 ? ? 的置信区间 解 ( n 50 ). (近似) 令 所以参数 p 的置信区间为( p1, p2 ) 例如 自一大批产品中抽取100个样品,其中有60个一级品, 求这批产品的一级品率 p 的置信度为0.95的置信区间. p 的置信区间为 §2.3 区间估计 引例 已知 X ~ N ( ? ,1), 不同样本算得的 ? 的估计值不同，因此除了给出 ? 的点估计外, 还希望根据所给的样本确定一个随机区间, 使其包含参数真值的概率达到指定的要求. ? 的无偏、有效点估计为 随机变量 常数 如引例中，要找一个区间,使其包含 ? 的真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 ) 取 查表得 这说明 即 即随机区间 含未知参数 ? 的概率为0.95. 置信区间 设 ? 为待估参数, ? 是一给定的数, ( 0?1). 若能找到统计量 , 使 则称 为 ? 的置信水平为1 - ? 的 置信区间或区间估计. 置信下限 置信区间的定义 置信上限 ? 反映了估计的可靠度, ? 越小, 越可靠. 置信区间的长度 反映了估计精度 ? 越小, 1-? 越大, 估计的可靠度越高,但 ? 确定后, 置信区间的选取方法不唯一, 通常选长度最小的一个. 几点说明 越小, 估计精度越高. 这时, 往往增大, 因而估计精度降低. 反复抽取容量为5的样本,都可得一个区间,此区间不一定包含未知参数 ? 的真值, 而包含真值的区间占95%. 置信区间的意义 若测得 一组样本值, 它可能包含也可能不包含? 的真值, 反复 则得一区间 (1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877) 抽样得到的区间中有95%包含 ? 的真值. 算得 当置信区间为 时 区间的长度为 —— 达到最短 取 ? = 0.05 求参数 置信区间 保 证 可靠性 先 提 高 精 度 再 处理“可靠性与精度关系”的原则 1. 寻找一个样本的函数 它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参数 (常由? 的点估计出发考虑 ). 例如对 求置信区间的步骤 — 称为枢轴量 取枢轴量 2. 给定置信度 1 ? ? ,定出常数 a , b ,使得 ( 引例中 3. 由 解出 得置信区间 引例中 (一) 一个正态总体 X ~N ( ? ?? 2)的情形 置信区间常用公式 (1) 方差?0 2已知时, ? 的置信区间 推导 由 选取枢轴量 由 确定 解 得 ? 的置信度为 的置信区间为 (2) 方差? 2未知 时, ? 的置信区间 由 确定 故 ? 的置信区间为 推导 选取枢轴量 取枢轴量 ， (3) 当 ? 已知时, 方差? 2 的 置信区间 得 ? 2 的置信度为 置信区间为 由概率 (4) 当 ? 未知时, 方差? 2 的置信区间 选取 得 ? 2 的置信区间为 ? ? 则由 例1 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从 正态分布 N( ??? 2), 现从某天的产品中随机 (1) 若? 2=0.06, 求? 的置信区间 (2) 若? 2未知,求 ? 的置信区间 (3) 求方差? 2的置信区间. 抽取 6 件, 测得直径为 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1 置信度 均为0.95