[数学]定积分的计算.pptVIP

新的 积分类型： 已解决的积分类型 已解决的积分类型 新问题： 例12 计算 * * 牛顿—莱布尼兹公式 微积分基本定理 重要意义： （1）将积分学中的定积分与原函数两个本来似乎不相干的概念建立起了定量关系. （2）为定积分的计算提供了有效便捷的途径和方法. 一、直接积分法 例1 例2 练一练 二、换元积分法 1 求 2 求 3 求 4 求 5 求 6 求 利用直接积分法求出的不定积分是十分有限的.为了求得更多函数的不定积分，我们还需建立一些基本的积分方法。换元积分法就是其中之一。 说 明 问题 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 一、第一类换元法（凑微分法） 说明结果正确 注：凑微分法主要就在“凑”上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化 凑微分法的基本思路： 与基本积分公式相比较，将不同的部分—— 中间变量和积分变量——变成相同 步骤：凑微分；换元求出积分；变量还原. 例1 求 解（一） 解（二） 解（三） 例2 求 解 一般地 例3 求 解 思考： 求 解 例4 求 解 例5 解 例6 求 解 例7 解 注意：列项法是积分中常用的技巧 例8 求 解 例9 求 解 例10 求 解 第一类换元积分公式（凑微分法） 定理1 温故知新 例1 求 例2 求 例3 求 例4 求 例5 求 例6 求 例7 求 例8 求 例9 求 例10 求 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法， 不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循， 只能具体问题具体分析.要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子. （参看教材P99公式） 主要思路：去根号 思路：分子加1减1后凑微分！ 想一想，本题还有其他解法吗 注意：在对定积分进行换元时必须完全转化，其中包括被积函数，积分变量以及上下限，且换元后无需回代。 定积分的换元积分法 定理：设 在[a，b]上连续，函数 在 上有连续的导数 ，其反函数为 ，且 ，则 换元必换限 注意：换元必换限. 解：设 ，则 = = 三、 分部积分法 设函数u?u(x)及v?v(x)具有连续导数．那么，两个函数乘积的导数公式为 (u v)??u ? v ? u v ? ， 1、分部积分法 两边积分得： 分部积分公式： (u v)??u ? v ? u v ? u v ? 用法： 关键： 选择要得当， 2、例题 例1 求 两个不同类型函数乘积的积分，换元法失效。 显然， 选择不当，积分更难进行. 解法二 解法一 分部积分法适合求两个不同类型函数乘积的积分。 * *