[数学]第十二讲算法.docVIP

第十二讲 算法 一、学习算法的意义 “计算机既是数学的创造物，又是数学的创造者”，而算法既是计算机的理论和实践的核心，也是数学最基本的内容之一。在进入信息化社会的今天，算法基础知识、方法、思想日益融入人们社会生活，已经成为现代人就应具备的一种基本素质。因而，学生学习算法也具有重要意义。 算法学习有助于全面理解运算能力 人们常常误认为运算只是按照各种给定的法则进行加、减、乘、除，从而学习运算就是简单地背诵书本中给出的计算法则，形成基本的计算技巧，即根据熟记的法则，迅速准确地算出给定式子的答案。 事实上，按算法规则进行推理得出式子的正确结果，仅仅是计算的很小的一个组成部份，更重要的是，在运算中构造、设计、选择一个合理的算法，理解相应的算理。前面给出的若干算法案例，正是运用算法解决问题的设计和实施过程。在算法学习中，可以让学生给出同一问题的不同算法，比较这些算法的优劣，做出合理选择，从而提高学习效率，参与真正运算的全过程，这样，算法学习全面理解运算能力的涵义。 算法学习能够培养学生的逻辑思维能力 算法是解题方法的精确描述。算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、概括性和精确性。因此，将解决具体问题的方法整理成算法的过程是一个条理化和逻辑化的过程，有助于培养学生的逻辑思维能力。 算法还是连接人和计算机的纽带，如果将解决问题的算法交给计算机完成，则人的思维过程，判断过程都必须精心地设计在算法中，作为指令交给不会思考的计算机完成。 例如，我们需要写一个算法让计算机解关于的一元一次方程：。其中参数由键盘任意输入，让计算机输出结果。这时，要针对的不同输入值进行分类讨论： （1）输入 （2）若,则输出； （3）若,还要对进行讨论： ①若,方程的解是全体实数； ②若,方程没有实数解； 可见，哪怕是再简单不过的问题，也需要设计精确的算法，使任何人（包括计算机）按照这个步骤执行都能得到问题的正确解。 由此可见，书写算法的过程是一个思维整理的过程，是一个精确化、条理化、系统化的过程，也是培养学生逻辑思维能力的过程。 算法学习有助于培养学生程序化的思想 “算法初步”这一模块的学习要注意学生对算法基本思想的理解，练习中要结合实例，有条件的学校，应尽可能上机尝试和操作。 另一方面，算法思想方法应参考在高中数学课程乃至大学阶段的有关内容之中，鼓励学生尽可能运用算法解决问题，使程序化思想成为我们思考问题的习惯，其过程可概括如下： 二、算法概述 算法，一个既陌生又熟悉的名词。说陌生，因为算法概念从未进入我国中学数学教学大纲。新的高中数学课程标准破天荒地把算法作为重要内容列入必修课，自然出乎人们的意料。说到熟悉，那是因为从小学就开始接触算法。例如做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等等都是算法，只要按照一定的程序一步一步做，一定不会错。至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。因此，算法其实是耳熟能详的数学对象。一般地，算法是指在解决问题时按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的处理过程。这种程序必须是确定的、有效的、有限的。中国古代数学以算法为主要特征。吴文俊指出：我国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中，建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系，这与西方数学以欧几里得《几何原本》为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对。肇始于我国的这种机械化体系，在经过明代以来几百年的相对消沉后，由于计算机的出现，已越来越为数学家所认识与重视，势将重新登上历史舞台。吴文俊创立的几何定理的机器证明方法（世称吴方法），用现代的算法理论，焕发了中国古代数学的算法传统，享有很高的国际声誉。他因此于2001年获得了第一届国家最高科学技术奖。20世纪上半叶，科学研究方式归结为两种方式：理论+实验。后来由于计算机技术能力的开发，计算成为第三种重要手段。未来的趋势是，理论+实验+计算将成为标准的科学研究方法。那么，计算机如何按照人的意愿进行计算呢？这就要靠算法。因此，毫不夸张地说，算法既是数学科学的重要基础，也是计算机科学的核心。在我国，1980年的《辞海》还没有收入“算法”，只有“算法论”的条目（那是“数理逻辑”学科的一个分支，相当专）。1988年出版的《中国大百科全书（数学卷）》，才有了莫绍揆先生撰稿的“算法”辞条。Algorithms（算法）一词的如下定义：“在这个名称之下，组合了四种类型的算术计算的概念，即加法、乘法、减法、除法。”笼统地讲，算法是解决一个问题而采取地方法和步骤。 “算法”是一个与数的计算密切相关的概念。古代就有许多有名的算法，如古埃及乘法、求解某些二次方程的巴比伦方法、求两个自然数最大公约数的欧几里得算法等等。就整个数学发展的历史进程而言，不同时期、不同地域的数学一直存在两种不同的倾向：一种是逻辑演绎倾向；另一种是机械