[数学]第十次课 一元线性回归中的参数估计.pptVIP

1.最小二乘估计 例1 2.σ的估计 例2 求例1中 4 线性回归方程的显著性检验 例3 检验例1中的线性回归是否显著. （2）F 检验 5．回归系数的区间估计 6．预测 （2）区间预测 例4 求例1中当碳含量为0.50时,电阻的置信水平为0.95的置信区间 的无偏估计. 解 由例1得 我们注意到 只反映了x对y的影响，所以回归值 就是yi中只受xi影响的那一部分, 而 则是除去 xi的影响后, 受其它种种因素影响的部分, 故将 称为残差. 3 相关系数分析 称为变差，可分解为两部分. 因此, y1, y2, …, yn 的总变差为 : 回归平方和 残差平方和（或剩余平方和） 总离差平方和 可以证明 即 可以分解为两部分: 回归平方和 与残差平方和 . (10) 得出 所以 反映了由于自变量x的变化引起的因变量 y 的差异，体现了x对y的影响； 而 反映了种种其它因素对y的影响, 这些因素没有反映在自变量中, 它们可作为随机因素看待. 越大，变量 与 之间的线性相关程度越强。 （1） （2） 时， （3） 时， 与 有线性相关关系； 与 无线性相关关系； （1）t 检验 检验假设 由于 ,因此当原假设成立时,有 与 且 相互独立 从而对于给定的显著性水平 α ,该假设检验问题的拒绝域为 解 检验假设 拒绝域为 由例2得 0.5321 xx S = 拒绝 即认为线性回归显著 定理5.1.3 当 时 检验假设 选取统计量 对给定的显著性水平 的拒绝域为 （1）单值预测 设回归方程为 标准化后 又 且 相互独立 由t分布的定义 则回归方程为 解 由例1和例2可得 在现实问题中，处于同一个过程中的一些变量，往往是相互依赖和相互制约的，它们之间的相互关系大致可分为两种： 相关关系问题 （1）确定性关系——函数关系； （2）非确定性关系——相关关系； 相关关系表现为这些变量之间有一定的依赖关，但这种关系并不完全确定，它们之间的关系不能精确地用函数表示出来，这些变量其实是随机变量，或至少有一个是随机变量。 相关关系举例 例如：在气候、土壤、水利、种子和耕作技术等条件基本相同时，某农作物的亩产量 Y 与施肥量 X 之间有一定的关系，但施肥量相同，亩产量却不一定相同。亩产量是一个随机变量。 又如：人的血压 Y 与年龄 X 之间有一定的依赖关系，一般来说，年龄越大，血压越高，但年龄相同的两个人的血压不一定相等。血压是一个随机变量。 农作物的亩产量与施肥量、血压与年龄之间的这种关系称为相关关系，在这些变量中，施肥量、年龄是可控变量，亩产量、血压是不可控变量。一般在讨论相关关系问题中，可控变量称为自变量，不可控变量称为因变量。 对于x的一组不完全相同的值x1, x2,…,xn作独立观察, 得到随机变量y相应的观察值y1,y2, …,yn, 构成n对数据. 用这n对数据可作出一个散点图, 直观地描述一下两变量之间的关系. y x o · · · ·· · · · · · · · 这里有三幅散点图. y x o · · · ·· · · · · · (1) o y x · · · · · · · · · · · · (2) y x o · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (3) 根据散点图, 考虑以下几个问题: (1)两变量之间的关系是否密切, 或者说我 们能否由x来估计y. (2)两变量之间的关系是呈一条直线还是呈某种曲线. (3)是否存在某个点偏离过大. (4)是否存在其它规律. y x o · · · ·· · · · · · (1) o y x · · · · · · · · · · · · (2) y x o · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (3) 考虑采用线性方程拟合 采用非线性方程拟合 以下重点讨论前者 函数关系与相关关系的区别 相关关系—— 影响 的值， 函数关系—— 决定 的值， 因此，统计学上讨论两变量的相关关系时，是设法 确定：在给定自变量 的条件下，因变量