[数学]第四章_连续信号与系统的复频域分析.pdfVIP

第四章连续信号与系统的复频域分析 主讲人：彭文娟 上一章讨论的傅里叶变换法简化了零状态响应的求解， 特别在有关信号的分析与处理方面诸如有关谐波成分、 频率响应、系统带宽、波形失真等问题上，它所给出 的结果都具有清楚的物理意义。 但它也有不足之处！ 1 不足： ∞ () 1、傅里叶变换存在的充分条件是∫−∞ f t dt =有限值， 因而有些工程中常用的信号如 、 () 等并 () tε t ε t 不满足该条件，因而不能从定义来求。还有一些信号 αt ( ) 如e ε t (α0)根本不存在傅里叶变换,无法在频域进行 分析。 2、傅里叶逆变换的确定有时是很困难的，因此使傅里 叶变换的应用受到限制。 3 、它只能求出系统的零状态响应，零输入响应还得用 时域分析的方法确定。 在这一章中将通过把频域中的傅里叶变换推广到 复频域来解决这些问题即拉普拉斯变换。 应用拉普拉斯变换进行系统分析的方法： •同样是建立在线性时不变系统具有叠加性和齐次 性的基础上的， •只是信号分解的基本单元函数不同。 •因此这两种变换，无论在性质上或是在进行系统 分析的方法上都有着很多类似的地方。 •事实上，傅里叶变换可看成是拉普拉斯变换的一 种特殊情况。 2 在频域分析中，我们以ej ωt 为基本信号， 在复频域分析中，我们以es t 为基本信号， est 其中 s σ +j ω 复数 由于当 σ 0, s j ω est ej ωt 因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。 拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。 本章主要内容 1、拉普拉斯变换 2、拉普拉斯变换的性质 3、拉普拉斯逆变换 4、复频域分析 5、双边拉普拉斯变换 3 4.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 λt ( )( ) 如：一个指数增长的信号e ε t λ 0 显然不满 足绝对可积条件，且它的傅里叶变换是不存在的。 那么，能不能将这些信号乘上一个衰减因子，这 样它就可能满足绝对可积条件？正是这种想法， 引出了拉普拉斯变换。 () −σt 对任意信号f t 乘以一个衰减因子 e ,适当 −σ t 选取 的值使 ( ) 当 时, σ f t e t →±∞ 信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件： ∞ () −σ t ∫−∞ f t e dt ∞ 例如 ( ) 2t ( ) f t e ε t ∞ ∞