立体几何存在性问题-数学培优网.PDFVIP

学数学，上数学培优网 立体几何存在性问题 1如图，已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O，设 PA⊥平面ABCD，EC∥PA，且PA 2. （1）当CE为多少时，PO⊥平面BED； （2）在 （1）情形下，求二面角E—PB—A的余弦值.： 解：以A为原点，直线AD为x轴，AB为y轴，直线AP 为z轴建立空 间直角坐标系 （1）则P （0，0，2），O （1，1，0），D （2，0，0） ∵ EC∥ PA， ∴ 可 设 E （ 2， 2， z） 则 ∵ △ PBD为 等 腰 三 角 形 ， ∴ PO⊥ BD， 故 要 使 ，……4分 ∴－2+2z 0，∴z 1，即OE 1时，PO⊥平面BED.……………………………6分 （2）∵AD⊥平面PAB， 是平面PAB的一个法向量，且 设 为平面PBE 的一个法向量 由 由 解得： 取z 2，则x －1，y 2， 故二面E—PB—A的余弦值为 2 如图，三棱柱ABC—AB C 中，AA ⊥面ABC，BC⊥AC，BC AC 2，AA 3，D为 1 1 1 1 1 AC 的中点. （Ⅰ）求证：AB//面BDC ； 1 1 （Ⅱ）求二面角C—BD—C 的余弦值； 1 （Ⅲ）在侧棱AA¬ 上是否存在点P，使得 1 CP⊥面BDC ？并证明你的结论. 1 （I）证明： 连接BC，与BC 相交于O，连接OD 1 1 ∵BCCB 是矩形，∴O是BC 的中点.又D是AC的中点， 1 1 1 ∴OD//AB .∵AB 面BDC ，OD 面BDC 1 ¬1 ¬1 1 ∴AB//面BDC . 1 1 学数学，上数学培优网 （II）解：如力，建立空间直角坐标系，则 C （0，0，0），B （0，3，2），C （0，3，0），A （2，3，0）， D （1，3，0） 1 设 （x ，y ，z ）是面BDC 的一个法向量，则 1 1 1 1 即 .…………6分 易知 (0，3，0)是面ABC 的一个法向量. ∴二面角C—BD—C 的余弦值为 1 （III）假设侧棱AA 上存在一点P （2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC . 1 1 则 ∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱AA 上不存在点P，使CP⊥面BDC . 1 1 3 如图，已知四棱锥S—ABCD 的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方 形ABCD 内，且O到AB、AD 的距离分别为2和1. （