二次函数图象中的特殊图形初三班黄灿林秋实二次函数.DOCVIP

二次函数图象中的特殊图形二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为。其图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。二次函数是初中数学的重要内容。在学校老师介绍了相关知识后，极大地激发了我们的研究兴趣。我们展开了研究。现在，我们就将自己的研究结果与大家分享。 一、抛物线在x轴上截得线段长（弦长）的计算 对于抛物线，当时，函数图象与x轴交于，则x1 ,x2是方程的两根。 由求根公式可知， ∴ 抛物线中的顶点三角形 首先，在此需要定义一下抛物线中的顶点三角形。 由抛物线的顶点及抛物线与x轴的两个交点构成的三角形叫做抛物线中的顶点三角形。 由抛物线的对称性易知，该三角形是等腰三角形。 如图，△PAB即为抛物线中的顶点三角形。 作PD⊥AB于D，设∠PAB=α ∴ ∴ ∴ ∴由此可知，△的值决定了顶点三角形PAB的形状. ∴是等腰直角三角形 是等边三角形抛物线的交点三角形是直角三角形 同样，我们这里需要定义一下抛物线的交点三角形。 抛物线与坐标轴的三个交点构成的三角形叫做抛物线的交点三角形。 如图，△ABC即为抛物线的交点三角形。 设 （） 又∵ ∴（射影定理） ∴ ∵是方程的两根 ∴（韦达定理），即 ∴△ABC是直角三角形. 四、点A，B是抛物线与x轴的交点.点E是抛物线与y轴的交点.点P是抛物线的顶点. ⊙O是过点A,B,P的圆.连结OP交AB于H.（点A,E,B,P是四个不同的点.） 1.⊙O的圆心的位置与半径长. 由抛物线对称性得，于H. ∵∴ 设 ∴， 根据勾股定理， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴（△＞0）2.点E与⊙O的位置关系. ∵ 由距离公式得， 则 ∵ 当b=0，点P与点E重合 当c=0，点E与点A重合 ∴点E不在⊙O上 ,E在⊙O内 ，E在⊙O外 点A，B是抛物线与x轴的交点.点是抛物线与y轴的交点.点P是抛物线的顶点. ⊙是过点A,B,的圆.连结交AB于（点A,E,B,P是四个不同的点.） 由抛物线对称性得，于. ， 由距离公式得， 六、抛物线与x轴构成的封闭图形的面积 如图，直线HP是抛物线的对称轴.将线段AH y等分，并在抛物线上取对应点使它们与等分点横坐标相同，过对应点向y轴、x轴引垂线。设从右至左的矩形面积分别是 设 ∴ ∴ ∴ ， ∵ ∴ak0 同理， 当y取无穷大时，由对称性， 推广：对于任意抛物线与任意直线构成的封闭图形的面积计算。 与交于A，B.A在B的左边）C是的顶点，AM，BN垂直对称轴于M,N，过C作DE∥x轴于D,E.是方程的两根 由上述结论知梯形 七、对于任意的抛物线，求证在y轴上存在一个定点P，使过点P的任一直线与抛物线的两个交点与原点构成的三角形是直角三角形，且原点为直角顶点。并求出点P的坐标（用a表示）。 设 过点C作CG⊥x轴，过点A作AH⊥x轴. ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴△AHO∽△OGC ∴ ∴ ∵是方程的两根 ∴=∴ ∴，P（0，）