2随机变量及其分布§2.1随机变量§2.2离散型随机变量幻灯片.pptVIP

* 例1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令X ：取出的5个数字中的最大值。试求 X 的分布律。 具体写出,即可得 X 的分布律: 解: X 的取值为5, 6, 7, 8, 9, 10 X 5 6 7 8 9 10 P * 例2 设袋中有3个红球,2个绿球,连续不返回地从袋中取球, 直到取到红球为止.设此时取出了X个绿球.试求: (1) X的分布律 (2) X的分布函数 F(x) (3) 解: (1) X可能的取值为0, 1, 2 且 * 故X的分布律为: X 0 1 2 P 0.6 0.3 0.1 (2) 当x0时, {X≤x}为不可能事件 x 0 1 2 X 得: F(x)=P{X≤x}=0 * 当0≤x1时, 所以可得 F(x)=P{X≤x}=P{X=0}=0.6 {X≤x}={X=0} x 0 1 2 X 当1≤x2时, 而{X=0}与{X=1}是互不相容的两事件 从而可得 F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1} =0.6+0.3=0.9 {X≤x}={X=0}∪{X=1} x 0 1 2 X * 当x≥2时, {X≤x}为必然事件 x 0 1 2 X 从而可得 F(x)=P{X≤x}=1 综合可得 0.9 1 0.6 注: 左闭右开 0 1 2 x * (3) =0.3+F(2) ?F(1) =0.3+1?0.9 =0.4 P(1≤X≤2)=P({X=1}∪{1X≤2}) =P(X=1)+P(1X≤2) * 离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量X 的分布律为: P(X=xi) = pi (i=1,2,…) 则X的分布函数为: 分布函数F(x)是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 x =xk (k =1,2,…)处发生间断, 间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度为 pk=P{X=xk} * 解： 例1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过。 出发地 甲地 令X 表示首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概率分布与 p = 0.4 时的分布函数。 3 , 2 , 1 , 0 ), 1 ( ) ( = - = = k p p k X P k * k pk 0 1 2 3 4 代入 可得 0.6 0.24 0.096 0.0384 0.0256 * 相应的分布函数图像为 ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 x F( x) ? o ? 1 ? o ? o ? o 0.6 0.84 o * 例2 在上例中, 分别用分布律与分布函数计算 解： 或 此式为 极限 * 常见的离散型随机变量的分布 1. 两点分布（0–1分布） 若随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律为 0 p 1 或 X 0 1 Pk 1 - p p 则称 X服从（0-1）分布。 * 对于任何一个只有两种可能结果的随机试验E,如果用?={?1,?2}表示其样本空间, 总可以在?上定义一个服从两点分布的随机变量 来描述随机试验的结果。 显然此时X的分布函数为 两点分布应用场合 例如：产品是否合格、人口性别统计、 系统是否正常、电力消耗是否超标等等 * 2. 二项分布 若随机变量X 所有可能的取值为0,1,2,…,n，而取各值的概率为 其中 0p1，p+q=1 则称X 服从参数为n, p 的二项分布。 通常记为 X～ B(n, p) * 在n 重贝努里试验中，设每次试验事件A发生的概率为p , 令X是n次试验中事件A发生的次数, 则X为一离散型随机变量 注意： (0?1)分布可看作n=1时的二项分布 显然有 且 X～ B(n, p) * 例1 设有15台车床，独立地加工一件齿轮，若各机床加工的废品率都是 p=0.4, 试求加工出来的15件齿轮中恰有k件（k=0, 1, 2, …, 15）废品的概率. 解:此例可以看做是 n=15 的贝努利试验，设 X 表示加工出来的15件齿轮中废品的个数，则 X～ B(15, 0.4) ，从而可知X 的概率函数是： * .1181 .0162 .0245 .0074 .00165 .00025 .00002 .00001 8 9 10 11 12 13 14 1