高等数学中的哲学幻灯片.pptVIP

二、通过有限认识无限 在高等数学中，为了达到认识不确定的、无限的情形，常常是从确定的、有限的情形出发的. 在数列极限概念中，无穷数列{a n}是不能全部写出来的，为了考察其无限变化的趋势，我们研究有限的a n与有限的a之间的距离｜a n－a｜，如果距离能任意小，我们就可以间接地知道a n无限变化的结果就是a. 因此极限是利用有限来认识无限的一种数学方法，同时也说明极限是有限与无限的对立统一. 数学归纳法的实质，是人们用有限认识无限的一种方法. 凡涉及对任意自然数n都成立的命题P（1），P（2）, P（3）, …P（n），… 这是无限的命题列，要一个一个地去验证永远也证不完. 人们是如何通过有限来把握无限，实现对这无穷多个命题的证明的呢？ 返回 （1）从有限入手，首先验证P（1），P（2），为真； （2）假设n－k时 P（k）真, 然后证明n = k +1时 P（k +l）真. 这样，从 P（k）到 P（k +1）的转化，论证了这无限多个命题的正确性. 无穷级数 a1 + a2 + a3 + a4 + … + an + …的求和，也是人们通过有限认识无限的例子. 为了计算无穷级数的和，先计算有限项的和 Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an. 若极限 s 是一个有限数，则称s 为无穷级数的和. 返回 三、通过无限来表示有限 我们一方面通过有限来认识无限. 另一方面, 我们又通过无限来表示有限，从而实现有限与无限的相互转化. 如，函数f(x)在点a的泰勒展开式 左边是有限形式，右边是无限形式; 左边是整体未知，右边是每项已知. 又如 返回 第五节 抽象与具体 一、高度抽象是数学的主要特征 1.数学抽象就是要把对象理想化. 数学是在纯粹状态下研究量与量的关系，它所研究的量与量的变化，是在理想条件下表现的纯粹的、独立的、真正的过程. 如 各种数系：如自然数、有理数、实数、复数、超越数等； 各种结构：代数结构、几何结构等； 各种空间：欧氏空间、拓扑空间等； 各种关系： 如同构、同态、同调等； 各种属性：如连续性、确定性、随机性等. 返回 数学抽象主要经历了三个发展阶段: 第一阶段：产生数的概念,使对象同一起来，撇开个体物的质的无限多样性和创造数的符号，即数字. 2.数学的抽象有一系列的发展阶段 第二阶段：从算术过渡到代数，在代数中已经不使用个别的具体数字，而使用字母符号,具体的数字对字母符号而言是特殊的东西. 第三阶段：不仅是撇开符号的一切数字内容，而且根本撇开数学运算本身的量的内容. 从运算角度来看，最初是数目的运算： 32 + 42 =52. 进而发展为代数式的运算： a2 + b2 ＝c2 再进一步抽象为代数系统的运算： （f + g，f + g）＝（f，f）＋（g，g） 返回 3.数学的研究方法几乎完全致力于用逻辑的方法处理抽象的概念和它们的相互关系. 4.数学具有自身特有的符号语言来表述自身的内容. 数列极限： 导数概念： 又如，函数的导数 , 本来这个记号是一个整体记号, 分 子分母不可分，但有了复合函数微分法则之后，发现这个记法有巨大的优越性: 返回 只有引进经过精心设计的符号和改进公理化方法，数学才能不断地发展.中国古代数学的发展从另一个角度证明了这一点. 中国古代数学的一个重要特点是用算筹，它支配中国古代数学达两千年之久，算筹的使用曾经促进中国古代数学的发展.然而，从公元前1世纪的《九章算术》到14世纪朱世杰的《四元玉鉴》，代数的内容有了很大发展，但在数学语言方面，仍采用算筹而没有任何改进.在《九章算术》中，由于处理的问题比较简单，不用符号用算筹，运算步骤和方法尚好理解；而在处理比较复杂的问题时，用算筹布列和文字叙述，就难以理解了 . 例如，祖颐在《四元玉鉴》后序（ 1303）中关于四元消去法写道：“以元气居中，立天匀、地股、人弦、物黄方，考图明之，上升下降，左右进退，互通变化，乘除往来，用假象真，以虚向实，错综正负，分成四式.必以寄之，剔之，余筹易位，横冲直撞，精而不杂，自然而然，消而和会，以成开方之式也.” 返回 朱世杰用“太”表示常数项，居中；用天、地、人、物表示四个未知量，其系数分别放在“太”的下方、左方、右方和上方.上、下、左、右四个方位只能放四个未知量, 如果有第五个未知量，就无处安排，要推广到n个就更不可能了. 李善兰用“微”的偏旁“彳”表示微分，用积的偏旁“禾”表示积分. 彳人 = 返回 禾 二、高度抽象使数学