中考数学 与三角形有关的存在性问题(含答案).docVIP

中考数学专题: 存在性问题考点（1） 与三角形有关的存在性问题 一、考点扫描： 存在性问题是近年来全国各地中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，对考生分析问题和解决问题的能力要求较高，其特点是在一定条件下探究发现某些数学结论和规律是否存在，由于结论有存在和不存在两种可能，所以具有开放性。求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系和结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理、找出最后的答案。 二、典型例题： （2008年山东临沂）如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。 ⑴求抛物线的解析式； ⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由; ⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。 解法提示： 问题（1）易求，在问题（2）中，假设存在点P、使得⊿PDC是等腰三角形，由于没有说明哪两条边相等，所以应分成CD为一腰和CD 为以边两种情况进行讨论，而解决问题（3）时应抓住B、C、D三点为固定点，分别考虑以BC、CD、BD分别为梯形一底时的情况，注意要按照顺序依次讨论，以做到不重复和不遗漏。 解：⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3）， ∴设抛物线解析式为 根据题意，得，解得 ∴抛物线的解析式为 ⑵存在。 由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。 ①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理， 得，即y＝4－x。 又P点(x,y)在抛物线上，∴，即 解得，，应舍去。∴。 ∴，即点P坐标为。 ②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。 ∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。 ⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理, 得CB＝,CD＝,BD＝, ∴, ∴∠BCD＝90°, 设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中， ∵CF＝DF＝1, ∴∠CDF＝45°, 由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3）， ∴DM∥BC, ∴四边形BCDM为直角梯形, 由∠BCD＝90°及题意可知， 以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况; 以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。 综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）， 温馨小贴士： 存在性问题探究的结果有两种：一种是存在，一种是不存在。在解决这类题目时的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。即首先猜想或者假设问题的某种关系和结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理，如果得出的结论和关系与已知条件和某个定理，公理等相符，则表明原来猜想或者假设问题的某种关系存在或结论存在，如果得出的结论和关系与已知条件和某个定理，公理等相矛盾，则表明原来猜想或者假设问题的某种关系存在或结论不存在， 三、名题精练： 1、（2007福建龙岩）（14分）如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且． （1）求抛物线的对称轴； （2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式； （3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由． 2、（2008年海南）（本题满分14分）如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E. （1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点； （3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 3、（2010年福建龙岩）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（10，0），（2，4）. （1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的解析式； （2）若P为抛物线上异于C的点，且△OAP是直角三角形，请直接写出点P的坐标； （3）若抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点M,探究：抛物线对称轴上是否存在异于D的 点Q，使△AQD是等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 答案： 1、解：（1）抛物线的对称轴 （2） 把点坐标代入中，解得 （3）存在符合条件的点共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与轴交于，与交于． 过点作轴于，易得，，， 以为腰且顶角为角的有1个：． 在中，