任意角三角函数概念 - PowerPoint 演示文稿精品.pptVIP

文化基础教研室数学教研组 林卫民 制作 一、背景知识 任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直到1464年，德国数学家雷基奥蒙坦著《论各种三角形》，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说；14~16世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等。1631年，三角学输入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”。“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用。 二、预备知识 在初中阶段，我们对在直角三角形中锐角的三角函数定义如下： A B C c a b 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 余切函数： 此定义只限于直角三角形中的锐角，而现在角的定义已经拓广到任意角，所以对于任意角的三角函数的定义也要作相应的拓广。 三、任意角三角函数的定义 为了研究任意角的三角函数，我们先在平面上建立一个直角坐标系 OXY ,将任意角 a 的顶点放在坐标原点，始边放在 x 轴的正半轴上，设OP为它的终边，如下图： O a a 在角的终边上任取一个不与顶点重合的点P(x,y),这点到原点的距离为 r . P(x,y) r 正 弦： 余 弦： 正 切： 余 切： 正 割： 余 割： y x X Y (P点的纵坐标y比P点到原点的距离r) (P点的横坐标x比P点到原点的距离r) (P点的纵坐标y比P点的横坐标x) (P点的横坐标x比P点的纵坐标y) (P点到原点的距离r比P点的横坐标x) (P点到原点的距离r比P点的纵坐标y) 当角a是其它象限角时，它的三角函数的定义也是一样。 X Y O P(x,y) X Y O P(x,y) X Y O P(x,y) 正 弦： 余 弦： 正 切： 余 切： 正 割： 余 割： 没有意义； 注意： X Y P(x,0) X O O P(x,0) Y 没有意义。 X Y O P(0,y) X Y O P(0,y) 除上述情况无意义外，对于每一个确定的角a，上面六种比值都是唯一确定的，所以 sina、cosa、tana、cota、seca、scsa 都是角a的函数。 我们把角a的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别叫做角a的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，统称为三角函数。 四、讲解例题 例1、已知角a终边上一点的坐标为P(-4,3)，求角a的各个三角函数值。 分析： 从三角函数的定义可知，只要知道该角终边上的任意一点P的坐标(x,y)，则可求出该点到原点之间的距离r，然后由x,y,r之间的比值就可以得到该角的各个三角函数值。 X Y O a P(-4,3) r 解：如右图，因为x=-4,y=3, 所以 根据三角函数的定义，可得 例2、 分析： 此题只给出角的大小，没有给出其终边上的任一点的坐标，因此我们首先根据角的大小确定终边的位置，并在终边上取任意一点并确定其坐标，再根据三角函数的定义求解。 X Y O 解： 根据三角函数的定义得： P（1，-1） 五、课堂练习 1、已知角a 终边上的一点P的坐标如下，求角a 的各个三角函数值。 （1）P（1，-7） （2）P（-5，2） （3）P（1，0） 2、已知角a 的值如下，求角a的各个三角函数值。 六、课外作业 1、已知角a的终边上的一点P的坐标为（-3，2），求角a的 各个三角函数值。 2、已知角a 的值如下，求角a的各个三角函数值。 放学了！