[初三数学]抽象函数几类问题的解题方法与技巧.docVIP

抽象函数问题的一般解法 皖滁州市定远县第二中学 罗彩荣 不给出函数具体的解析式，只给出在定义域内满足的一些性质和运算法则（如函数的单调性、奇偶性，解析式的关系等），我们将这类函数称为抽象函数。“形散而神不散”，这句话用在抽象函数身上一点也不为过，下面对抽象函数的解析式、奇偶性、单调性，周期和对称轴四个方面进行浅析。 一、求解析式的一般方法 1、换元法 例1：已知f(x+1)=x2-2x求f(x) 解：令t=x+1则x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t-3 ∴f(x)=x2-4x-3 换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。 2、方程组法 例2：若函数f(x)满足f(x)+2f()=3x，求f(x) 解：令x=则f()+2f(x)= f(x)+2f()=3x ＝＞f(x)= -x 2f(x)+f()= ∴f(x)= -x 3、待定系数法 例3：如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______ 解：f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a≠0) 则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知f[f(x)]=2x-1 ∴ ∴f(x)=-x+1+或f(x)= x+1- 如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 二、判断奇偶性的一般方法 例4 定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。 （1）对任意x、y∈ (-1、1) 都有f(x)+f(y)=f() （2）当x∈ (-1、0) 时,有f(x)＞0 求证（I）f(x)是奇函数,（II）f( 证明：（1）令x=y=0，则2f(0)=f(0) ∴f(0)=0 令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x) =f()=f(0)=0 ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数 例5 定义在R上的函数f(x)，对任意 x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0 （1）求证f(0)=1 （2）求证y=f(x)是偶函数 证明：（1）令x=y=0 ∴f(0)+f(0)=2×f(0)2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令x=0 则f(0+y)+ f(0-y)=2 f(0)f(y) f(y)+f(-y)=2f(y) ＝＞f(-y)=f(y) ＝＞y=f(x)是偶函数 在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法和模型法，这里重点讲解赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1，在解题中要注意应用。 三、单调性的求解方法 例6：定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立。 （1）判断函数f(x)的奇偶性。 （2）证明：f(x)为减函数，若函数f(x)在[-3、3]上总有f(x)≤6成立，试确定f(x)应满足的条件。 （3）解关于x的不等式f(ax2)-f(x)＞(a2x)-f(a)(n是一个给定的自然数a＜0) 解：（1）f(x)为奇函数 证明如下 令x=0、y=0 则f(0+0)=f(0)+f(0) =f(0)=0 令y=-x, 则f(0)=f(x)+f(-x)= f(x)-f(x)=0 =f(-x)=-f(x) =f(x)是奇函数 （2）证明：任取x1x2∈R,且x1＜x2 则x2-x1＞0 由已知f(x2-x1)＜0 ∵f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)0 ∴f(x2)f(x1) 从而f(x)在（-∞，+∞）上是减函数 ∵f(x)（-∞，+∞）上是减函数 ∴f(x)在[-3,3]上有最大值f(-3)≤6 又f(-3)=f(-2+(1))=f(-2)+f(-1) =＞ 3f(-1)≤6 ∴f(-1)≤2 ∴f(1)≥-2 (3)f(ax2)-f(x)＞f(a2x)-f(a) f(ax2)-f(a2x)＞n[f(x)-f(a)] f(ax2-a2x)＞nf(x-a) 由已知得f[n(x-a)]=nf(x-a) ∴f(ax2-a2x)＞f[n(x-a)] ∵f(x)在（-∞，+∞）上是减函数 ∴ax2-a2x＜n(x-a) 即（x-a）(ax-n)＜0 ∵a＜0 ∴(x-a)(x-)＞0 (1)当a＜＜0,即a＜-时 原不等式解集为{x|x＞或x＜a} (2)当a=＜0,即a=-时 原不等式的解集为空集 (3)当＜a＜0时 即-＜a＜0时 原不等式的解集为{x|xa或x＜} 例7，设函数y=f(x)是定义在R上，对任意m,n函数f(x)恒有 f(m+n)