§1-函数的极限知识研讨.pptVIP

§1-2 函数的极限 §1-2.1 数列的极限的概念 概念的引入 数列的定义 数列的极限 数列极限的性质 割圆术： 1、概念的引入 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 例如 2、数列的定义 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取点: 数列是整标函数 数列的几何意义. 3、数列的极限 观察下列数列当n→∞时的变化趋势 当n→∞时，有的数列无限接近一个常数，有的则不然。 如果数列没有极限, 就说数列是发散的. 几何解释: 4、 收敛数列的性质 定理1 每个收敛的数列只有一个极限. 定理2 收敛的数列必定有界. 有界性是数列收敛的必要条件. 数列{xn}有上界：即存在M, 使xn≤M (n=1,2,…). 数列{xn}有下界：即存在m, 使xn≥m (n=1,2,…). 1、定义： 2、另两种情形: 3、几何解释: 邻域: 二、自变量趋向有限值时函数的极限 1、定义： 注： （1）f(x) 在 x0 点邻域内有定义,但在 x0 点可 以无定义,即函数极限与f(x) 在 x0 点是否 有定义无关； （2） x无限趋近 x0 但 x?x0 ； （3） 趋近方式是任意的。 2、几何解释: 例1 证 例2 证 函数在点 x=1 处没有定义. 3.单侧极限: 例如, 左极限 右极限 如果当x从 x0左侧（即x x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，则称A是函数f(x)在x0处的左极限， 如果当x从 x0右侧（即xx0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数B，则称B是函数f(x)在x0处的右极限， 左右极限存在但不相等, 例3 证 三、函数极限的性质（以 x→x0 为例） 定理（保号性） ° 推论 ° 1-2.3 无穷小与无穷大 无穷小 无穷大 无穷大与无穷小的关系 极限为零的变量称为无穷小. 一、无穷小 1.定义 例如, 注: 无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 零是可以作为无穷小的唯一的数. 1. 无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 充分性 2.无穷小量性质 2. 无穷小的运算性质: (1) 在同一过程中,有限个无穷小的和、差、积以及常数与无穷小的乘积仍是无穷小. 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. （2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 二、无穷大 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注: 无穷大是变量,不能与很大的数混淆. 在同一自变量变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 三、无穷小与无穷大的关系 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 1-2.4 函数极限的运算 极限运算法则 无穷小的比较 一、函数极限运算法则 定理 * *