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5.6广义最小二乘法 和 表示这些多项式中的系数用 递推广义最小二乘法有叫喊的计算效果。归于最小二乘法，递推计算与离线计算结果完全一样，而对广义最小二乘法，递推计算与离线计算结果不完全一样。 ， 相应的估值来代替。 5.8增广矩阵法 考虑但输入－但输出随机系统的差分方程 式中 是新息序列，具有白噪声特性。 下面先扩充被估参数的维数，再用最小二乘法估计系统参数。设 则有 5.8增广矩阵法 上述方程结构适宜于用递推最小二乘法计算，但 是未知的。为了克服这一困难，用 代替 。 定义为 式中 按照递推最小二乘法公式的推导方法，可得增广矩阵法的递推方程 5.8增广矩阵法 式中 在上述算法中，由于矩阵PN的阶数比最小二乘法中PN的阶数扩大了，因而称为增广矩阵法。这种算法在实际中获得了广泛应用，收敛情况也比较好。 5.9多阶段最小二乘法 前面几节讨论了广义最小二乘法、辅助变量法和增广矩阵法。广义最小二乘法是计算精度高，但计算量也比较大。本节介绍另一种解决相关残差问题的最小二乘法——多阶段最小二乘法（MSLS）。这种方法把复杂的辨识问题分成3个阶段来处理，而且每个阶段只用到简单的最小二乘法，省去了广义最小二乘法的迭代过程，简化了计算，并且已得到参数的一致性无偏估计，计算精度比辅助变量法高。但是，这种方法也存在着与广义最小二乘法相类似的收敛问题。 5.9多阶段最小二乘法 常用的多阶段最小二乘法有3种算法，而其中的2种算法是紧密联系的。 5.9.1 第1种算法 这一算法的3个阶段分别是确定原系统脉冲响应序列、估计系统参数和估计噪声模型参数。 1）确定原系统脉冲响应序列 设系统的差分方程为 式中 ξ(k)为有色噪声，可表示为 其中 为白噪声序列。 5.9多阶段最小二乘法 5.9.1 第1种算法 前已述及， 是有系统输入量的测量误差、输出量的测量误差和系统内部噪声所引起的。如果把 归结为由输出量测量无偿 所引起，如图5.3所示，则可求出 和 之间的关系式。 在式(5.1.4)中，用 代替 可得 或把式（5.9.3）写成 5.9多阶段最小二乘法 5.9.1 第1种算法 则有 设g(k)为 的脉冲响应序列，并且令 ξ(k)与ε(k)及v(k)与ξ(k)的变换方块图如图5.3所示，变换后的方块图如图5.4所示。v(k)可能是白噪声，也可能是有色噪声。不管v(k)是否自相关，总能得到系统脉冲响应序列g(k)的一致性无偏最小二乘估计。 5.9多阶段最小二乘法 5.9.1 第1种算法 假设系统是稳定的，可用有限序列来逼近脉冲响应序列g(k)。设有限序列的k＝0，1，…，p，而p应足够大，p2n+1。根据“自动控制原理”中所介绍的系统输入和输出间的关系式可得到离散形式的卷积公式。 设v(k)为零均值随机噪声，白色的或有色的均可，并且v(k)与u(k)不相关。给定数据长度为N＋p的输入－输出数据点集，则可写出向量－矩阵方程 5.9多阶段最小二乘法 5.9.1 第1种算法 式中 应用最小二乘法，可求出g 的最小二乘估计 5.9多阶段最小二乘法 5.9.1 第1种算法 因为u(k)与v(k)不相关，故U与v不相关。由于v的均值为0，根据5.1节的讨论可知 为一致性估计，当N→∞时， 以概率1趋近于g。因为一般情况下v(k)是自相关的 所以 不一定有极小方差。一般说来，p选得大，估计精度高，但计算量大，所以要选取适当的p，既要满足精度要求，又要计算量小。如果u(k)是伪随机二位式序列，则 的计算可以简化。 5.9多阶段最小二乘法 5.9.1 第1种算法 2）估计系统参数 首先，用u(k)和 来构成系统真实输出x(k)的估值 ，即 然后利用准确系统模型来估计a(z-1)和b(z-1)中的各参数。把 代入式（5.9.14）得 式中 是用 代替(5.9.14)中的 后所引起的实效误差。 5.9多阶段最小二乘法 5.9.1 第1种算法 给出数据长度为n＋N的输入－输出数据点集，可写出向量－矩阵方程 (5.2.6)式中矩阵 的阶数越大，所包含的信息量就越多，系统参数估计的进度就越高。为了获得满意的辨识结果，矩阵 的阶数常常取得相当大。这样，在用式（5.2.6)计算系统参数的估计值 时，矩阵求逆的计算量很大。本节介绍一种算法来代替矩阵求逆，在不降低辨识精度的前提下，可以使辨识速度有较大提高。具体算法如下。 首先设系统阶次为0，则 均为常数， 即 系统的最小二乘辨识结果为 5.2一种不需矩阵求逆的最小二乘法 5.2一种不需矩阵求逆的最小二乘法 系统阶次为n+1时有 设 若系统阶次为n时已经求出 (5.