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齐次坐标解释 [0, 0, 0, n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 [1 0 0 0]T—指向无穷远处的OX轴 [0 1 0 0]T—指向无穷远处的OY轴 [0 0 1 0]T—指向无穷远处的OZ轴 这样，利用齐次坐标不仅可以规定点的位置，还可以用来规定矢量的方向。第四个元素非零时，代表点的位置；第四个元素为零时，代表方向。 加入一个比例因子w,如果x, y, z各除以w,则得到ax, by, cz。于是，这时向量可以写为：P=(x, y, z,W)’其中，X=ax*w,y=by*w,z=cz*w。随着w的变化，向量大小也随之发生变化，这类似于计算机图形学中对图片的放大或缩小。让我们来讨论一下w的取值 w1时，向量的所有分量都变大 w=1时，各分量大小保持不变 w1时，向量的所有分量都变小 w=0时，向量长度无穷大，方向由x ,y ,z确定 附录 Matlab使用与矩阵计算 矩阵的输入: 1)矩阵的直接输入.(操作) 以[ ]作为首尾,行分隔用”;”,元素分隔用”,”或空格. 2)矩阵编辑器.(操作) 先在工作区定义矩阵,用编辑器修改矩阵. 3)用函数创建矩阵,如.(操作) zeros(m,n):零矩阵 ones(m,n):全部元素都为1的矩阵 eye(m,n):单位阵 randn(m,n):正态分布的随机矩阵 vander(A):由矩阵A产生的Vandermonde矩阵 THANK YOU 机器人位姿变换与坐标变换 坐标系位姿的描述 1 不同坐标系间的映射 2 平移与旋转的奇次变换矩阵 3 齐次坐标的逆变换 4 变换顺序的相对性 5 1.1 坐标系位姿的描述 坐标描述：指坐标系的位置和方位（姿态） 位置的描述 方位的描述 旋转矩阵的正交性 坐标系位姿的描述 1.1.1 位置的描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示: 1.1.2 方位的描述 空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述. 1.1.3 旋转矩阵R的正交性 上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的 1.1.4 旋转矩阵的意义 若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴的旋转矩阵分别为 旋转矩阵的几何意义: 1) 可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标系的姿态矩阵. 2) 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的坐标 变换成{A}中点的坐标 . 3) 可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中. 1.1.5 坐标系位姿的描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示 1.2 不同坐标系间的映射 平移映射 旋转映射 一般映射 一般映射的奇次坐标表达方法 映射（mappings）：将在一个坐标系下的描述改变为在另一个坐标系下的描述。 1.2.1 平移映射 注意：只有在两坐标系平行的时候，才能将两坐标系的位置描述直接相加。 坐标系{A}和{B}具有相同的方位,但原点不重合.则点P在两个坐标系中的位置矢量满足下式 1.2.2 旋转映射 坐标系{A}和{B}有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系: 1.2.3 一般映射 一般情况原点既不重和,方位也不同.这时有: 1.2.4 一般映射的奇次坐标表达方法 1、将1加到3维坐标的第4维，原坐标向量变成4×1的奇次坐标向量； 2、将[0 0 0 1]加到[R P]的最下面一行，构成4×4的奇次矩阵。 P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为: 1.3 平移与旋转的奇次变换矩阵 平移 旋转 绕Z轴旋转 绕X轴旋转 绕Y轴旋转 绕多个轴的旋转 复合运动：多次平移与旋转 设: P＝（x,y,z)T; U＝P0=(x0,y0,z0)T 则: V＝P＋P0＝（x+x0,y+y0,z+z0)T 可用齐次坐标表示为： 1.3.1 平移 平移齐次变换矩阵: Trans(x0,,y0,,z0)＝ 1.3.2 绕Z轴旋转的方位描述 设坐标系O1X1Y1Z1从OXYZ绕Z旋转θ而成，且有点： P1＝（x1,y1,z1)T P1在OXYZ中应表示为： P＝（x,y,z)T，则有： x=x1cos θ-y1sin θ y=x1sin θ+y1cos θ z= z1 P=R(Z,θ)P1；变换矩阵R(Z,θ) 1.3.2 旋转的齐次变换矩阵Rot 1.3.2 绕多个轴旋转的变换 原始坐标系OAXAYAZA绕ＸＡ旋转α后得到坐标系O’X’Y’