现代设计方法教学课件作者张大可第10章节有限元法绪论课件幻灯片.pptVIP

第10章 有限元法绪论 10.1 简例 例1 图10-1（a）所示为一拉压弹簧，弹簧系数为常量kc，其轴线与x轴重合，试确定在弹簧两端施加的拉力Fi和Fj与弹簧两端点的伸长ui，uj之间的关系。 图 10-1 拉压弹簧 * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第10章 有限元绪论 解：1）几个概念 结点：定义于单元上的特殊点，或单元之间的联系点。单元之间只在结点处相联系，单元之间的相互作用通过结点进行。 结点力：结点对单元的作用力或单元对结点的作用力。常按坐标方向分解。 结点位移：在结点出度量的结构位移。常按坐标方向分解。 * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第10章 有限元绪论 2）将弹簧视为一个单元，对单元的分析可直接使用胡克定理： 考虑图（b），结点上的结点力为 考虑图（c），结点上的结点力为： 合并图（b）、图（c）则为图（a），即 （10-1） * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第10章 有限元绪论 则（10-1）可写成 （10-2） （10-3） 式中 [ k ]表达了两者之间的转换关系，我们将其称为单元刚度矩阵。 式（10-2）称为单元结点平衡方程式。 如以{F}e表示单元结点力向量： 以{Δ}表示结点位移向量： * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第10章 有限元绪论 例2 如图（10-2 a）所示阶梯轴，一端固定，另一端受轴向载荷F3，轴的横截面积为A1，A2，长度为L1，L2，材料的弹性模量为E1，E2，试确定阶梯轴各段的应力和应变。 * 重庆大学机械工程学院 图10-2 阶梯轴 解： （1）离散化 如图（b），得2单元，3结点的有限元模型。 各结点上的位移记为u1，u2，u3，各结点上的结点力记为F1，F2，F3。 现代设计方法——第10章 有限元绪论 重庆大学机械工程学院 * （2）单元分析 从图（10-2 b）的模型中任取出一个单元如图（10-2 c），单元的结点为i，j，结点位移为ui、 uj，结点力为Fi、 Fj。 由材料力学，分别考虑单元的结点i ，j 处的平衡，则两结点的结点位移ui，uj和结点力Fi，Fj关系可由胡克定律直接给出。 (10-4) 注意：（10-4）中， 的符号应一致。 现代设计方法——第10章 有限元绪论 （10-5） （10-6） 写成矩阵方程形式： 式中： * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第10章 有限元绪论 （3）整体分析 单元结点的编号与整体结点编号之间有对应关系如右表： 单元 i j ① 1 2 ② 2 3 结点2 整体结构的结点平衡方程推导如下: 结点2上的结点力为 结点2的平衡方程式为： 同理结点1： 同理结点3： * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第10章 有限元绪论 将三式合为： （10— 引入： （10-7） * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第10章 有限元绪论 现代设计方法——第10章 有限元绪论 重庆大学机械工程学院 * 式（10-8）称为有限元整体结点平衡方程式。求解该式可获得结点的位移，进而获得应变和应力。 则可得： （10-8） 10.2 有限元法的基本思想 10.2.1 连续系统问题及其求解 * 重庆大学机械工程学院 图10-3 悬臂梁 悬臂梁例 现代设计方法——第10章 有限元绪论 连续系统问题求解的方法： （1）分析法：建立精确的数学模型，通过严密的数学推演获得问题的解答。 特点：获得精确解；但求解困难，应用受限。 （2）数值方法：建立问题的近似模型，通过一定的算法和程序，利用计算机获得问题的解答。 特点：获得近似解；但由于对于模型和求解的简化，获得广泛的应用。 有限元法是一种数值方法。 * 重庆大学机械工程学院 矩形域二维无源热传导例 现代设计方法——第10章 有限元绪论 图10-4 矩形域二维无源热传导 10.2.2 有限元法的基本思想 （1）离散化 用单元的集合体（离散系统）来代替原来的连续系统。 （2）单元分析 单元分块近似 （3）整体分析 单元特性关系集合成一组以结点变量（位移、温度、电压等）为未知量的代数方程组