《数学分析》教案第10章函数列与函数项级数.pdfVIP

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2018-03-22 发布于福建
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《数学分析》教案第10章函数列与函数项级数.pdf

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第 10 章函数列与函数项级数 §10.1 问题的提出  函数项级数设 {un (x )} 是非空点集 E 上的函数列,称形式和u (x) n n 1  E 上的函数项级数；若  使得级数收敛,则称是该函为 x E u (x ) x 0 n 0 0 n 1 数项级数的收敛点；收敛点的全体称为收敛点集；当收敛点集D  时,自动地定义了D 上的一个函数  S (x ) u (x), x D , n n 1 称为该函数项级数的和函数. 注记 1 函数项级数有两个含义: 一是形式和；二是其收敛点集上的和函数. 注记2 对函数项级数和函数列只需研究其一即可.但是,研究函数项级数更为方便和重要. 三个基本问题:  (1) 若[a,b] 上的连续函数项级数u (x) 在[a,b] 上处处收敛,其和函 n n 1 数S (x ) 是否也在[a,b]上连续?  (2) 若[a,b] 上的可积函数项级数u (x) 在[a,b] 上处处收敛,其和函 n n 1 数S (x ) 是否也在[a,b]上可积? 当S (x ) 在[a,b]上可积时,是否成立  b b S (x )dx  u (x )dx ? (逐项积分) a a n n 1  (3) 若[a,b] 上的可导函数项级数u (x) 在[a,b] 上处处收敛,其和函 n n 1 数S (x ) 是否也在[a,b]上可导? 当S