《数学分析》教案 第12章 Fourier.pdfVIP

第 12 章 Fourier 分析  将一个函数用幂级数 a xn 表示出来,其用意是用简单函数1, n n 0 2 x ,x ,来表示复杂函数.同样的理由,也可用简单函数1, cosx , sinx , cos2x , sin 2x ,来表示复杂函数.因此也应该研究三角级数  a 0 a nx b nx  ( cos  sin ) .  n n 2 n 1 三角级数还有如下 4 个优点: (1) 物理背景. 一切周期现象都能用周期函数刻画,最简单的周期函 数就是简谐波 x (t) Asin(t ), A 0,  0 . 用物理术语的话,称 为时间,x (t) 为位移, 为振幅, 为频率, 为初 t A   相,T 2 T f (t) 为周期.如果能把以 为周期的函数 用简谐波的叠加   A sin(nt  ) n n n 0 表示出来,便能简化对周期现象的研究. 作变量代换x 2 t t ,问题便化成是否能把以2 为周期的函数 T f (x ) 用   A sin(nx  ) (A sin cosnx A cos sin nx ) n n n n n n n 0 n 0  a 0 a nx b nx  ( cos  sin )  n n 2 n 1 表示出来. (2) 数学上的便利. 一个函数至少是 C 的,才有可能展开为幂级数 (还不一定)；但一个以2 为周期的C1 函数就一定能展开为三角级数 (C1 的条件已经多余了). (3) 三角级数与一个重要的数学分支“调和分析”密切相关. (4) 正交性. 以2 为周期的连续函数的全体是一个向量空间,规定其 204 1  内积为f g  f x g x dx ,则 1 , cosx , sin x , cos2x , sin 2x , ,  ( ) ( ) 2 是标准正交向量组. 1  1  cos(m n