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第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数 解: 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 解: 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 解: 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 解: 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 证明: 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 证明: 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 即 曲线族正交. 即 曲线族正交. 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 本节将把实变函数中一些常用的初等函数推 第 三 节 初 等 函 数 广到复变函数中，研究这些函数的性质，特别是 解析性. 一、单值函数 1. 指数函数: 特别的: 第 三 节 初 等 函 数 性质: 第 三 节 初 等 函 数 2. 三角函数 定义: 特别的:z=y时，与实变量函数一致 第 三 节 初 等 函 数 性质: 第 三 节 初 等 函 数 3. 双曲函数 定义: 性质: 第 三 节 初 等 函 数 常用的三角恒等式: 第 三 节 初 等 函 数 第 三 节 初 等 函 数 其它三角函数: 第 三 节 初 等 函 数 二、多值函数 1. 对数函数: 第 三 节 初 等 函 数 第 三 节 初 等 函 数 例1 求下列各值及相应的主值 解: 说明:复数域内，负数的对数有意义; 实数的对数也可有无穷多值。 第 三 节 初 等 函 数 解: 解: 解: 第 三 节 初 等 函 数 性质: 注:指集合相等 证明: 第 三 节 初 等 函 数 注意: 例如: 第 三 节 初 等 函 数 第 三 节 初 等 函 数 第 三 节 初 等 函 数 可见，不同分支上相同点的导数值相等 2. 乘幂与幂函数 (1) 乘幂: 第 三 节 初 等 函 数 特别的: 第 三 节 初 等 函 数 单值 * * 作业题 解： 第二章作业: PP66~68 2, 4, 8, 10 双号, 12, 14, 15，18,21(3) , 本章首先介绍复变函数的导数概念和求 第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数 导法则，在此基础上，介绍解析函数的概念 及判别法。 一、复变函数的导数与微分 1. 导数定义: 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 等价定义: 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 内可导。 导函数记为 解: 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 证: 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 2. 可导与连续的关系 证明: 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 反之: 由例2可知 3. 求导法则 (与高等数学相同) 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 4. 微分的概念 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 二、解析函数 定义: 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 注意: 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 例3. 解: 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 例4. 解: 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 例5. 解: 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 定理:(解析函数的运算法则) 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 例如: 第 一 节 解 析 函 数 的 概 念 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 解析性是很复杂的，有时是很困难的. 因此, 有必 要寻找判别函数解析的简便方法. 由前节的讨论看出，用定义判别一个函数的 定理一(函数在一点可导的充分必要条件) 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 证明: 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 定理二(函数解析的充分必要条件) 注: 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件 例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析. 解: 第 二 节 函 数 解 析 的 充 要 条 件