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自主招生数学素质测试卷5 一、选择题 1．若实数a、b、c、d满足a＋1＝b－2＝c＋3＝d－4，则a、b、c、d这四个实数中最大的是【 】 A．a B．b C．c D．d 2．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD运动至点D停止.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.如果关于x的函数图象如图2所示，则BD的长是【 】 A． B． C． D．3 3．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数值相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为【 】 A．1 B．1或2 C．2 D．2或3 4．关于x满足，且的最大值为p，最小值为q，则pq的值是【 】 A．6 B．5 C．－5 D．4 5．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC绕点D的逆时针方向旋转90°至DE，连结AE，则△ADE的面积是【 】 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．已知，则=______________. 7．若不论自变量x取何实数时，二次函数y＝2x2－2kx＋m的函数值总是正数，且关于x的一元二次方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根.当k为符合条件的最大整数时，m的取值范围为______________. 8．圆内接四边形的四条边长顺次为：，则四边形的面积为 . 9．如图，“L”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A点切一刀，刀痕是线段EF.若阴影部分面积是纸片面积的一半，则EF的长为______________. 10．规定任意两个实数对（a，b）和（c，d）：当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）.定义运算“”：（a，b）（c，d）＝(ac－bd，ad＋bc).若（1，2）(p,q)＝(5,0)，则p＋q＝______________. 三、解答题 11．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性. （1）根据下列所示图形写出一个代数恒等式； （2）已知正数a、b、c和m、n、l，满足.a＋m＝b＋n＝c＋l＝k.试构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al＋bm＋cn＜k2. 12．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°.试探究MB、MN、CN之间的数量关系，并给出证明. 13．某校10名教师带领八年级全体学生乘坐汽车外出参加社会实践活动，要求每辆汽车乘坐的人数相等.起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有师生正好能平均分乘到其他各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？该校八年级有多少名学生？ 14．如图，PQ＝10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的O内切于点P，与正方形ABCD切于点Q，其中A、B两点在⊙O上.若AB＝m＋,其中m、n是整数，求m＋n的值. 15．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针针旋转，旋转角为θ，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转.旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交轴于点N(如图). （1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积； （2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论； （3）当旋转角θ为多少度时，△OMN的面积最小，并求出此时△BMN内切圆的半径. 16．边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程的两根，求的值并确定直角三角形三边之长．