第14讲导数.docVIP

第十四讲 导数 考纲要求： 1.导数的计算 2.导数的几何意义 3.函数的单调性及其判定 4.函数的极值 5.函数的最大值与最小值 考点内容 导数 1．导数的概念及其几何意义 （1）如果函数在开区间内的每一点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可以记作，即 函数在处的导数就是函数在开区间（）上导数在处的函数值，即所以函数在点处的导数也记作 （2）函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率。也就是说，曲线在点处的切线的斜率是相应地，过点的切线方程为　 2．基本导数公式 　　，（为有理数），， 　　， 3．两个函数的和、差、积、商的求导法则 和（或差）的导数 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即　 （2）积的导数 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即 　 （3）商的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 　　　 4.函数的单调性与极值 1）．函数的单调性 当函数在某个区间内有导数时，如果，那么函数在这个区间内是增函数；如果，那么函数在这个区间内是减函数。 2）．极值 设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的函数值都大，我们就说是函数的一个极大值；如果的值比附近所有各点的函数值都小，我们就说是函数的一个极小值。极小值与极大值统称极值。 如果在某个区间有导数，就可以采用如下的方法求它的极值： （1求导数； （2求方程的根； （3检查在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负， 在根的右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值。 5．最大值与最小值 设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可以分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 考题类型：选择题，填空题，解答题 考题类型举例： 例题1 确定下列函数的单调区间， y=x2-2x+5 解1）：y’=2x-2 令y0，即2x-20,x1,因此，在（1，+∞）内y为增函数 再令y0，即2x-20,x0,因此，在（-∞,1）内y为减函数 例题2讨论函数的单调性。 解：函数的定义域为， ， 注意：当时，，设， 即，（驻点）。 　 故，函数在上为单调减函数， 在上为单调增函数。 例题3。 求下列函数的极值 y=-x3+12x+6 解：y=-3x2+12=-3(x2-4) y=3x2-12=3(x+2)(x-2) 令y=0,解得x=±2 由y0,即-3(x2-4)0,解得-2x2, 由y0,即-3(x2-4)0,解得x-2,x2, 可见，在x等于2附近，y0,右侧附近y0, 而在x等于2左侧附近，y0,右侧附近y0, 因此当x=-2时，y有极小值，y极小值=-10 X=2,y有极大值，y极大值=22 说明：结合本例，可得求可倒函数的f(x)的极值的步骤 求f(x) 求f(x)=0的根 检查f(x)=0的根的左侧右侧附近f(x)的值的正负，若左正右负，那么f(x)在这个跟出取得极大值，反之，取得极小值 例题4 求函数y=x3-12x+6,x∈（-2，3）的最大值与最小值 解：y=3x2-12=3(x+2)(x-2) 令y=0,解得x=±2 由于x=-2恰好为给定闭区间[-2，3]的左端点，故x=-2时， y没有极值 而在（-2，2）内，y0 在（2，3）内，y0,因此当x=2时，y极小值=-10 又当x=-2时y=22,当x=3时y=-3 故ymax=22,ymin=-10 说明：函数的最大值与极值的区别，前者，x的取值在某一区间上；后者，x的取值在该区间内某一很小的局部范围内 例题5 建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800m3,深为3m,如果池底与池壁每1m2的造价分别为150元与120元，问水池底面的边长多长时，建水池的造价最低，最低价是多少？ 解：设水池底面一边长为x，则另一边长为 ÷x=,记y为建水池的造价，那么 y=150×1600+120(3.2x+3.2.),x∈（0，+∞） y=240000+720(x+) y=720(1- ) 令y=0，解得x=40或x=-40舍去 依题意知，当x→0+时,→+∞，则y→+∞； 当x→+∞时,y→+∞； 因此，当x=40时，y最小，即底面边长为40m的正方形时，水池的造价最低，其造价为297600元 例题6过曲线上一点的切