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函 数 专 题 复 习 邯郸二中 曹洪章 一、函数的概念型问题 函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有两种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是： 1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系． 2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元法、待定系数法等数学思想方法的运用． 3．通过对分段函数、复合函数、抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础． 本部分内容的重点是处理函数问题要达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会判断是否存在反函数并求其反函数． 本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合． 函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不仅会背诵定义，会做一些有关题目，从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题． ㈠深化对函数概念的认识 例1.下列函数中，不存在反函数的是 A． B． C． D． 分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在，过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法．作为选择题还可采用估算的方法：对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞0)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则得出D中函数不存在反函数．于是本题选D． 例2.函数y=f(x)存在反函数，则其反函数的图象与直线y=m的交点个数是 A.1个 B.无数个 C.至多一个 D.至少一个 分析：本题函数没有解析式，是纯粹的概念型问题，体现定义域的制约作用。 说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题． ㈡系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法 求函数定义域的基本类型和常用方法 基本类型有三种：（1）给定函数解析式；（2）抽象型函数、复合函数； （3）实际问题背景 由给定函数解析式求其定义域的问题，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字母. 例3．已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域： （1）； （2） 分析：函数是由与这两个函数复合而成的复合函数，其中是自变量，是中间变量．由于，是同一个函数，故(1)为已知0＜＜2，即0＜＜2．求的取值范围． 解：（1）由0＜＜2，得，所以的定义域为. （2）由（1）解不等式组得1＜＜, 所以所求的定义域为 说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出的解析式，由的定义域求函数的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是两种类型的综合． 2．求函数值域的基本类型和常用方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域． 例4.已知函数为常数）的反函数的图象过点（1，2），则的值域为 . 3. 求函数解析式的基本类型和常用方法 基本类型：（1）已知函数基本特征，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，常用待定系数法；（2）抽象型特征，常用赋值法、换元法；（3）反函数，注意定义域的制约；（4）实际问题 例5．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由． 分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？ 所以 因此能确