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湖南人文科技学院 数学分析 §3 平面曲线的弧长　　　 §4 旋转曲面的面积 §1平面图形的面积 §5 定积分在物理中的应用 §2 由平行截面面积求体积 小结与习题 第十章 定 积 分的应用 §6 定积分的近似计算 的面积S为 由连续曲线y=f(x)(≥0),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形 y=f(x) a b o x y （一）直角坐标系下的面积公式 (2)若函数f(x)在[a,b]上连续,且对任意x?[a,b], f(x)≤0, 则由曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0所围成的平面图形的面积S为 y=f(x) a b o x y (3)若f(x)在[a,b]上连续,则由曲线y=f(x), x=a,x=b,y=0 所围成的平面图形的面积S为 y=f(x) a b o x y S1 S2 S3 c1 c2 (3)若f(x)和g(x)都在[a,b]上连续,且对任意x?[a,b], g(x)≤ f(x),则由曲线y=f(x), x=a,x=b,y=g(x)所围成的平面 图形的面积S为 y x O f(x) g(x) (4)若f(x)和g(x)都在[a,b]上连续,则由曲线y=f(x), x=a, x=b,y=g(x)所围成的平面图形的面积S为 y=f(x) a b o x y y=g(x) 解 两曲线的交点为(0,0),(1,1),选x为积分变量, x?[0,1] 计算由两条抛物线y2=x,和y=x2所围成的图形的 例1 面积. x y O 下页 求曲线 与直线x=2,x=-2 例2 所围成的图形的面积. x 1 O -1 1 y 2 解: 由对称性,所围图形关于y轴对称,因此只要求第一 象限部分的两倍即可. 解:易求得两曲线的交点为:(1,?1)，(9,3). 图形在y轴上的投影为区间[?1,9]. 首页 例3 计算抛物线y2?x 与直线x?2y-3=0所围成的图形 的面积. 故所求面积为 (-1,1) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 （二）参数函数的面积公式 其中 在[?,?]上连续, 在[?,?]上可微,且 (或 在[?,?]上连续, 在[?,?]上 可微,且 )则曲边梯形的面积为 解: 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 求椭圆 1 2 2 2 2 = + b y a x 的面积. 例4 O x y t 求由摆线x=a(t-sint), x=a(1-cost)(a0)的一拱与 例5 x轴所围成的平面图形的面积. x a t y O 2?a 解: 摆线的一拱可取t?[0,2?],故所求面积为 曲边扇形的面积 面积元素 三、极坐标系的面积计算 设由曲线r= r(q)及射线q= a、 这里, r(q)在[a, b]上连续，且 q= b围成一曲边扇形,求其面积. r(q) 30. 解 由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍, 例6 求双纽线 q r 2 cos 2 2 a = 所围平面图形的面积. 所以 解 由对称性知 例7 求心形线 所围平面图形的面积. 湖南人文科技学院 数学分析