最小二乘法选讲.pptVIP

最小二乘法与曲线拟合 * 问题的提出 * 实例一：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品强度与相应拉伸倍数的记录: * 纤维强度随拉伸倍数增加而增加 图中可见，24个点大致分布在一条直线附近 问题分析： 如何确定这直线的系数呢？ 多个数据点，构造直线？ * 在实际中，数据不可避免的会有误差，而插值函数会将这些误差也包括在内；再者，实际数据一般多于待定参数的数量。 * 最小二乘法 我们需要一种新的逼近原函数的手段： ①不要求过所有的点（可以消除误差影响）； ②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。 可以采用最小二乘法——平方意义下的逼近 事实上，我们对最小二乘的思想有过接触！回忆一下概率论中讲过的方差理论。 随机变量X，一组取值Xi，i=1,2,...,n。期望E(X)，方差D(X)=E{[X-E(x)]2}。 对于矛盾方程组，求一组数x1,x2,…xm，代入原来方程组，使每个等式的两端偏差最小，称 x1,x2,…xm，为矛盾方程组的最优近似解。 * 一、最小二乘原则： 2. 常用方法： 常用第三种方法，称为最小二乘原则。 * ——（1） 二、矛盾方程组的解 * 求Q的最小值，令 称（2）为（1）的正规方程组（法方程组）。 （2）的解即为（1）的解，称此方法为最小二乘法。 ——（2） * * * 再看引例一 一般实际问题的解题步骤： * * 解：从散点图可以看出，纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系，故可选取线性函数 为拟合函数， 建立法方程组 解得 * 练习： 2. 给出数据 x -1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0 y -0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 2.0003 x 0.25 0.50 0.75 1.00 y 2.5645 3.1334 3.7061 4.2836 试用最小二乘法求一次拟合多项式。 1.用最小二乘法解下列矛盾方程组：