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第五讲 集合元素的数量（2012-7-12） 例1 若为集合且的子集，且满足两个条件： ①； ②对任意的，至少存在一个，使或. … … … … … … … 则称集合组具有性质. 如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为. （Ⅰ）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由； 集合组1：； 集合组2：. （Ⅱ）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合； （Ⅲ）当时，集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的个数） 20.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：集合组1具有性质. ………………1分 所对应的数表为： ………………3分 集合组2不具有性质. ………………4分 因为存在， 有， 与对任意的，都至少存在一个，有或矛盾，所以集合组不具有性质. ………………5分 （Ⅱ） ……………7分 . ………………8分 （注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同） （Ⅲ）设所对应的数表为数表， 因为集合组为具有性质的集合组， 所以集合组满足条件①和②， 由条件①：， 可得对任意，都存在有， 所以，即第行不全为0， 所以由条件①可知数表中任意一行不全为0. ………………9分 由条件②知，对任意的，都至少存在一个，使或，所以一定是一个1一个0，即第行与第行的第列的两个数一定不同. 所以由条件②可得数表中任意两行不完全相同. ………………10分 因为由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的元有序数组，共有个，又因数表中任意两行都不完全相同，所以， 所以. 又时，由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的数组，共个，选择其中的个数组构造行列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质. 所以. ………………12分 因为等于表格中数字1的个数， 所以，要使取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少， 而时，在数表中， 的个数为的行最多行； 的个数为的行最多行； 的个数为的行最多行； 的个数为的行最多行； 因为上述共有行，所以还有行各有个， 所以此时表格中最少有个. 所以的最小值为. ………………14分 例2 已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合： ，． 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． 若对于任意的，总有，则称集合具有性质． （I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； （II）对任何具有性质的集合，证明：； （III）判断和的大小关系，并证明你的结论． 20．（共13分） （I）解：集合不具有性质． 集合具有性质，其相应的集合和是， ． （II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个． 因为，所以； 又因为当时，时，，所以当时，． 从而，集合中元素的个数最多为， 即． （III）解：，证明如下： （1）对于，根据定义，，，且，从而． 如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立． 故与也是的不同元素． 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， （2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立， 故与也是的不同元素． 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 由（1）（2）可知，． 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0