数学辅导资料7(函数图象及其对称性).docVIP

数学辅导资料七（函数图象及其对称性） 1、对于一个具有奇偶性的函数y=f(x)的特征有： 名称 函数的式子特征 函数的图象特征 奇函数 f(-x)=-f(x) 关于原点对称 偶函数 f(-x)=f(x) 关于y轴对称 2、从图象观察，一个关于直线x=a对称的函数y=f(x),它应该满足什么特征？ f(a-x)=f(a+x) 从数的形式上看，由相关点法的基本原理，设(x,f(x))是y=f(x)图象上任意一点，它关于直线x=a的对称点(x1,f(x))在函数图象上，从而f(x1)=f(x),而x与x1到x轴上a对应的点的距离相等，于是a-x=x1-a,x1=2a-x,从而f(x1)=f(2a-x),于是f(2a-x)=f(x)（如图2） 一方面，由f(2a-x)=f(x)对任意x成立，当然对a+x也成立，于是f[2a-(a+x)]=f(a-x)=f(a+x)； 另一方面，由f(a-x)=f(a+x)成立，f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),于是我们得到： 结论1：一个函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称f(a-x)=f(a+x)f(2a-x)=f(x) 结论2：函数y=f(x)关于点(a,0)对称f(a+x)=-f(a-x) (或表达为f(a+x)+f(a-x)=0)f(2a-x)=-f(x)（或f(2a-x)+f(x)=0）的图象各有什么对称特征？ （前者关于直线x=1对称，后者关于点(1,0)对称） 例3、一个函数y=f(x)的图象能否关于直线y=b对称？ （除了函数f(x)=b外，其余不能，否则一个x对应两个y就不再是函数） 例4、函数y=f(x)图象关于点(a,b)对称，式子满足什么特征？ （f(x)+f(2a-x)=2b或者写成f(a-x)+f(a+x)=2b））例6、函数y=f(x)关于点(2,0)对称，当x≥2时，f(x)=lg(x-1), (1)求函数的解析式； (2)作出函数的图象； (3)指出函数的单调区间 解：(1)x2时，f(x)=-f(4-x)=-lg(4-x-1)=-lg(3-x)∴f(x)= (3)函数的增区间是(-∞,+∞),无单调减区间 例7、一个函数y=f(x)关于直线x=a对称，在[a+1,a+2]上单调增，则它在[a-2,a-1]上的单调性如何？在[a+1,a+2]上单调减呢？由此你能得到什么结论？ （单调减，单调增，关于x=a对称的函数在对称轴两侧对称区间上单调性相反） 思考：将上面练习中的直线x=a改成点(a,0),结论又如何？ （关于点(a,0)对称的函数在对称中心两侧对称区间上单调性相同） 相关习题 1、y=f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且在(0,+∞)上单调增，f(-1)=0,则f(x+1)0的解集为_(-∞，-2)∪（-1，0）_ 2、函数y=在(-∞,a)上单调减，则实数a的范围是（ B ） A, (-∞,0) B, C, (0,+∞) D, 3、第2题中，函数的对称中心是_(-1,-3)_ 4、定义在R上的奇函数y=f(x)还关于点(a,0)对称，则它一定过下列哪些点（ ①②③④ ） ①(0,0);②(a,0);③(-a,-f(a));④(2a,0) 5、已知函数f(x)=x2-bx+c,f(0)=3,f(1+x)=f(1-x),则有( B ) A,f(bx)≥f(cx) B,f(bx)≤f(cx) C, ,f(bx)f(cx) D,f(bx)f(cx) 6、函数f(x)=ax-1+3关于点(-1,0)对称的函数记为y=g(x),则函数y=g(x)一定过定点_(-3,-4)_ 7、函数y=(x+1)3+1的对称中心是_（-1，1）_ 8、y=f(x)为偶函数，f(1+x)=f(1-x),当x∈(0,1)时，f(x)=lgx,求x∈(-2,-1)时函数解析式 f(x)=lg(2+x)； 9、说明函数y=x-2及y=的奇偶性并作图 （答案：y=x-2偶函数，y=偶函数，图象如图） 10．当时，函数和的图象只可能是 （ ） 11．函数y＝ax2＋a与y＝（a0）a＞0且a≠1，函数y=ax与y=loga(－x)的图像可能是( B ) 13.函数在同一直角坐标系中的图像可能是（ A ） 14、设集合，在下图中能表示从集合A到集合B 的映射的是（ ） A B C