第4讲 立体几何综合体训练.docVIP

第4讲 立体几何综合体训练 1.（2010湖南文数）如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点 （Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1 【命题意图】 本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。 2.（2010浙江理数）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. （Ⅰ）求二面角的余弦值； （Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长中，，，为的中点，为上的一点，． （Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线； （Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小． 4.（2010陕西文数）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点. (Ⅰ)证明：EF∥平面PAD； (Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V. 本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力 向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎 5.（2010江西理数）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。 求点A到平面MBC的距离； 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。 6.（2010重庆文数）四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点. （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值. 主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。 7.（2010四川理数）（18）（本小题满分12分） 已知正方体ABCD－ABCD的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点. （Ⅰ）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线； （Ⅱ）求二面角M－BC－B的大小； （Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积. 8.（2010天津理数）（19）（本小题满分12分） 如图，在长方体中，、分别是棱, 上的点，, 求异面直线与所成角的余弦值； 证明平面 (3)求二面角的正弦值。 第4讲答案 2.（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以, 又因为平面平面. 如图建立空间直角坐标系A-xyz 则（2，2，），C（10，8，0）， F（4，0，0），D（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）. 设=（x,y,z）为平面的一个法向量， -2x+2y+2z=0 所以 6x=0. 取，则。 又平面的一个法向量， 故。 所以二面角的余弦值为 （Ⅱ）解：设则， 因为翻折后，与重合，所以， 故， ，得， 经检验，此时点在线段上， 所以。 方法二： （Ⅰ）解：取线段的中点,的中点,连结。 因为=及是的中点， 所以 又因为平面平面， 所以平面, 又平面, 故， 又因为、是、的中点， 易知∥， 所以， 于是面， 所以为二面角的平面角， 在中，=，=2，= 所以. 故二面角的余弦值为。 （Ⅱ）解：设, 因为翻折后，与重合， 所以， 而， 得， 经检验，此时点在线段上， 所以。 3.(19)解法一： （I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F. 因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1. ………………3分 作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点. 又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD. 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线. （II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45° 设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=. 作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角. 4.解 (Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC. 又BC∥AD,∴EF