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数学必修一复习 知识分析 一、集合问题 （一）注意集合的三性 集合是非定义的、描述性概念，构成集合的对象称为元素，作为集合的元素，具有三个特点：确定性、互异性和无序性。 1. 确定性 对任意对象都能确定它是不是某一集合的元素，这是集合的最基本特征。没有确定性就不能成为集合。如“很大的数”、“个子较高的同学”都不能构成集合。 2. 互异性 集合中的任何两个元素都不相同，即在同一集合里不能出现相同元素。如把两个集合{1，2，3，4}，{3，4，5，6，7}的元素合并在一起构成一个新集合，那么这个新集合只能写成{1，2，3，4，5，6，7}。 3. 无序性 在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序。如集合{a，b，c，d}与{b，d，c，a}表示相同集合。 解决集合概念的关键是理解这三大特点，今以例题说明其内涵和应用。 例1. 由下列对象组成的整体能构成集合的是：①不超过π的正整数；②高一数学课本中的难题；③中国大城市；④方程的实根；⑤平方后等于自身的数。（ ） A. ①②③ B. ③④⑤ C. ①④⑤ D. ①②④ 解析：作为一个给定的集合，其元素必须是确定的，即对集合A和元素a，要么，要么，二者必居其一。对于②③，其组成的个体是不确定的，故选C。 例2. 由a，组成的集合中含有2个元素，求a的范围。 解析：对于给定的一个集合，集合中的元素一定是互不相同的，即任何两个相同的对象在同一个集合中只能算一个元素。依上题意，a，作为其集合中的两个元素，一定是互不相同的，，所以a≠0且a≠1。 例3. 已知集合只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A。 分析：该题将初中学习的一元一次方程与一元二次方程和集合内容联系在一起，注意当两根相同时作为集合元素，只能算作一个；注意对项系数k的讨论。 解：当k=0时，原方程变为 所以x=2 此时集合 当k≠0时，要使集合只有一个元素，需△=0 即，所以k=1 此时集合A={4} 综上所述，实数k的值为0或1，当k=0时，集合A={2}；当k=1时，集合A={4}。 例4. 规定当两集合的元素完全相同时，这两个集合相等。若，且A=B，求x,y的值。 分析：集合{1，3，2}，{1，2，3}，{3，1，2}均表示同一个集合。借助互异性与无序性求解。 解：因为A=B，所以A，B中的元素相同 若，则 当x=1时，A={1，y}，B={1，y}，可知且y≠1； 当时，A={1，－y}，B={1，y}则须，所以y=0； 若，则须有xy=1，解，得 此时A中的元素，这与元素的互异性相矛盾，故舍去。 综上可知适合条件的x,y值如下： 当x=1时，且y≠1；当时，y=0。 （二）注意数0，{0}，的关系 数0不是集合，{0}是含一个元素0的集合，而是不含任何元素的集合。 例5. 下列关系错误的是（ ） A. B. C. D. 解析：A、B、D都正确，而是不含任何元素的集合，故选C。 （三）注意空集的特殊性 空集是一个特殊且重要的集合，它不含任何元素，在解题的过程中极易被忽视。 例6. 已知集合M满足{1，2}{1，2，3，4，5}，则这样的集合有多少个？ 解析：由已知集合M中的元素至少含有1，2至多含有1，2，3，4，5，故要求满足条件的集合M相当于求集合{3，4，5}的子集数。集合{3，4，5}的子集有，{3}，{4}，{5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{3，4，5}，则集合M共有8个。 （四）注意符号“”与“”（或“”）的区别。 符号“”表示元素与集合之间的从属关系，“”（或“”）表示集合与集合间的包含（或真包含）关系。 例7. 以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来。 （1）0与{0}；（2）0与；（3）与{0}；（4）{0，1}与{（0，1）}；（5）{（b,a）}与{（a，b）}。 解析：（1）0{0}。 （2）0。 （3）与{0}都是集合，两者的关系是“包含与否”的关系，∴{0}；也可以是{0}。 （4）{0，1}是含两个元素0，1的集合，而{（0，1）}是以有序数对为元素的集合，它只含有一个元素。 ∴{0，1}≠{（0，1）}。 （5）当a=b时，{（a，b）}={（b，a）}；当a≠b时，{（a，b）}≠{（b，a）}。 （五）注意数集与点集的区别 以数或点为元素的集合分别叫做数集或点集，要防止出现偏差。 1. 书写上的错误，误把点集{（2，3）}写成{2，3}或{x=2，y=3}； 2. 理解上的错误，误认为等价于或 。 例8. 已知集合，，试求B。 解析： （六）集合的运算例析 1、交集问题 例9. 设集合，，