铁一中自主招生试题解析.docVIP

一、选择题（共1小题） 1、如图，在ABC中，C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（　　） A、6 B、26 C、25 D、22+2 考点：二次函数的应用；两点间的距离；勾股定理的应用． 分析：点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点O在到AD的中点的距离不变．本题可通过设出AC的中点坐标，根据B、D、O在一条直线上时，点B到原点O的最大可得出答案． 解答：解：作AC的中点D，连接OD、DB，OB≤OD+BD，当O、D、B三点共线时OB取得最大值，D是AC中点，OD=12AC=2，BD=22+22=2 2，OD=12AC=2，点B到原点O的最大距离为2+22，故选D． 二、解答题（共5小题） 2、已知：等边ABC中，AB、cosB是关于x的方程x2-4mx-12x+m2=0的两个实数根．若D、E分别是BC、AC上的点，且ADE=60°，设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并说明当点D运动到什么位置时，y有最小值，并求出y的最小值． 考点：二次函数综合题． 专题：综合题． 分析：本题可先根据cosB的值求出AB的长，然后通过证ABD和DCE相似，得出关于AB，CD，BD，CE的比例关系式，即可得出关于y，x的函数关系式，然后根据函数的性质即可求出y的最小值． 解答：解：ABC是等边三角形，cosB=cos60°=12，{AB+12=4m+1212AB=m2，解得：m1=0，m2=2，12AB=m2≠0，m=0不合题意，舍去；m=2即AB=8，ADE=60°，ADB+∠CDE=120°，又ADB+∠BAD=180°-∠B=120°，BAD=∠CDE，又B=∠C=60°，ABD∽△DCE，ABDC=BDCE，设BD=x，EA=y则DC=8-x，CE=8-y，88-x=x8-y，y=18x2-x+8=18（x-4）2+6．当BD=4，即D为BC的中点时，EA有最小值6． ? 3、（2008?芜湖）附加题：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD，C=60°，AEBD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）设AE=x，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式． 考点：梯形；平行四边形的判定． 专题：计算题；证明题． 分析：（1）本题可分别证明四边形AEFD的两边平行，先求DFEA，也就是求BDC=90°，已知C是60°，可以通过等腰梯形的性质得出BAD=∠ADC=120°，在等腰三角形ABD中，AE是底边的高，根据等腰三角形三线合一的特点可得出BAE=∠EAD=60°，E是BD中点，那么ADB=30°，因此便可证得BDC=90°即可得出AEDF，下面证ADEF，EF是三角形DBC的中位线，EFBC∥AD，因此便可得出四边形AEFD是平行四边形．（2）我们不难看出DGEF，因此四边形EDFG的面积可用12EF?DG来求．直角三角形AED中有AE的值，有ADB的度数，可以求出AD的长，也就求出了EF的长，同理可在三角形DGC中求出DG的长，这样就能求出四边形DEGF的面积了． 解答：证明：（1）AB=DC，梯形ABCD为等腰梯形．C=60°，BAD=∠ADC=120°．又AB=AD，ABD=∠ADB=30°．DBC=∠ADB=30°．BDC=90°．由AEBD，AE∥DC．又AE为等腰ABD的高，E是BD的中点（等腰三角形三线合一）．F是DC的中点，EF∥BC．EF∥AD．四边形AEFD是平行四边形．（2）解：在RtAED中，ADB=30°，AE=x，AD=2x．在RtDGC中C=60°，且DC=AD=2x，DG=3x．由（1）知：在平行四边形AEFD中：EF=AD=2x，又DG⊥BC，DG⊥EF．四边形DEGF的面积=12EF?DG．y=12×2x?3x=3x2（x＞0）． 4、如图，在锐角三角形ABC中，BC=10，BC边上的高AM=6，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DEBC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）因为 DEBC DE∥BC ，所以ADE∽△ABC．（2）如图1，当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；（3）设DE=x，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y．如图2，当正方形DEFG在ABC的内部时，求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围；如图3，当正方形DEFG的一部分在ABC的外部时，求y关于x的函数