椭球大地测量学-第七章.ppt

综合dA2’、dA”、dA’’’，最后有 即 (12) (10)、(11)、(12)各式也可写成： (13) (14) 将(3)、(5)、[13)、(14)各式代入(1)式，最后得到 (15) (15)式是大地问题正解微分公式的完整公式。它的图解意义见图7—9。 大地问题反解和正解微分公式最初是由赫尔默特导出的(1880年)，因此也叫做赫尔默特微分公式。 原始的赫尔默特微分公式还含有椭球参数的变化da和dα。 § 7-1已经说明它属于两维变换，这里我们不作讨论。椭球参数变化对点位坐标的影将在第十二章讨论。 (1) (1)式证明如下： 7-4 大地问题正反解微分公式的关系 另外，由大地线克莱劳方程： (2) 得 由上节知 因此 (3) 比较(2)式和(3)式，即可证明(1)式。 下面讨论如何将反解微分公式变换为正解微分公式。 (5) (6) (4)、(5)、(6)各式就是§7—3所讲的正解微分公式，于是证明了两组微分公式的一致性。 同样,也可由正解微分公式证明反解微分公式，可参阅文献[13]。 7-5 球级近似的大地问题微分公式 前面导出的两组微分公式是严密公式。它们的系数比较复杂，使用不太方便。当距离较短、精度要求较低时，可以将椭球视作球，公式大为简化。 对于球级近似，有 (1) R是两点平均纬度处的平均曲率半径。（1）式代入§7—2（9）式， 得 (2) (1)式代入§7—3(15)式，得 (3) 而 （五元素公式） 经过整理，得到 而 (正弦定理) 因此 下面利用大地问题正解公式推导大地问题微分公式。 设地球半径为R，取高斯平均引数大地问题正解公式的主项，写为 (4) 式中B是两研究点的平均纬度，A为大地线在两点前进方位角的平均值。 由(4)式取微分，得 (5) 顾及（4）式，并且注意到 (5)式可以写成 (6) （6）式稍加整理，可化为更简单的形式： (7) 容易想到，球级近似的大地问题微分公式(5)，也可在球面上仿照§7—2、§7—3的方法导出，这里不再给出了。 7-6 常系数大地问题微分公式 上面导出的两组微分公式，它们的系数与大地线起点和终点的坐标有关，与大地线的长度和方位角也有关。对于不同的起算点，这些系数部是不同的，因此，计算工作赞重。 1942年赫里斯托夫导出了一组新的公式。 写出全微分公式： 依据勒让德级数(取至三次项)，求得各偏导数如下: 本章节结束，谢谢！ * * * * * 第七章 大地问题微分公式 7-1 微分公式的分类和应用 7-2 大地问题反解微分公式 7-3 大地问题正解微分公式 7-5 球级近似的大地问题微分公式 7-6 常系数大地问题微分公式 本章主要内容： 7-4 大地问题正反解微分公式的关系 7-1 微分公式的分类和应用 在平面直角坐标系中，坐标增量公式为： （1） （2） (1)式和(2)式叫做平面坐标计算微分公式。 椭球面上的大地问题解算也有类似的问题。 我们知道，点的大地坐标是依据大地线长度和方位角逐点推算出来的d大地线两端点的坐标B1、L1、B2、L2，大地线在两端点的方位角A1、A2和大地线长度S这七个参数，通过大地问题正解和反解公式，建立起相应的联系。如果七个参数中的一部分参数发生变化，必然会引起其他参数也发生变化。这些变化可以通过大地问题正解计算求出。但是这样作不太经济。我们关心的是，当这些变化量不太大时，设法直接求得它们之间的关系式。这就是常用的通过微分求改正数的方法。 有两种情况，相应的有两组微分公式： 1．大地问题反解微分公式，即已知大地线两端点坐标的变化，求边长和方位角的变化， 2．大地问题正解微分公式，即已知大地线一端点坐标，以及边长和方位角的变化，求另一端点坐标和方位角的变化。 两组微分公式有密切的联系，实际上它们是可以互逆的(§7—4)。 大地问题微分公式有重要的用途。 如果在椭球面上按间接观测法平差天文大地网，要用到大地问题反解微分公式，正象平面上的间接观测平差要用到平面坐标微分公式一样。此时，坐标改正数dB、dL是待求的未知数。通过dS、dA与dB、dL的关系式，组成边长误差方程式和方位角误差方程式。 如果由于某种原因，大地起算数据(B。、L。、A。)和长度基准(S)发生变化，相应的，其他大地点的坐标也必然发生变化。这时既要用到大地问题正解微分公式。 大地问题微分公式，还可用于同一椭球面上不同大地网之间的换算，通过微分公式，使一个三角网平移(dB、dL)、旋转(dA)和缩放(dS)，从面达到同另一三角网相符合的目的。这种换算也叫做