固体物理3-2011.pptVIP

从物理意义上讲，这是可以理解的，因为当T→0 K时，声子数将变得非常少，声子间相互碰撞的几率当然也变得非常小，即 l 变得非常大，因而热导系数趋向无穷大。 计入原子间相互作用的非简谐项，可以从理论上导出在高温下 而在低温下 但是，实际上当T→0K时，热导系数并不会趋向无穷大，因为还必须考虑晶体内的杂质、缺陷对声子的散射作用，所以 l 并不会变得非常大。 声子自由路程 (2) 热膨胀 微振动的势能泰勒展开式中，三次方项和三次方以上项很小，可以忽略，这就是简谐近似。 简谐近似下，原子之间的势能函数是左右对称的抛物线，如图中的抛物线（虚线）所示。 原子之间的相互作用势能函数如图所示。 在温度较低，原子在平衡位置附近的振动为微振动时，原子的左右位移具有对称性，原子的左右最大位移绝对值相同，离开平衡点位移的平均值为零，相邻原子之间的距离平均还是 a，晶格热膨胀不明显。 在温度不很低时，原子的振动幅度较大，原子的左右位移不再具有对称性，相邻原子之间的距离平均大于 a ，随着温度增加原子间距也增加，晶格发生热膨胀。 用经典的方法计算平均位置向右边移动的距离。设 a 是原子的平衡位置，? 是离开平衡位置的位移。把原子在a+ ? 点的势能U(a+ ?)对平衡位置式展开，则 第一项为常数，第二项为零。如果取U(a)=0，并且令 U(a+?)变成 按玻耳兹曼统计，平均位移 ? 是 线膨胀系数 是一个与温度无关的常数。 显然，如果计入U(r0+?)展开式中的更高一次项目，则线膨胀系数将和温度有关。 固态氟的晶格常量与温度的函数关系 图中曲线的斜率正比于热膨胀系数，当T→0 时，其膨胀系数也随之趋于零。 3.7 晶格的自由能和晶格状态方程 晶格的晶格比热、热膨胀等问题都可以在自由能的基础上统一起来讨论。 由热力学知道，压强P、熵S、定容比热 Cv和自由能F(T,V)的关系为 (1) 要想计算这些物理量和T、V的关系，应该首先计算晶格的自由能。晶格的自由能分为两部分：(1)F1=U(V)，只和晶格的体积有关而和温度（或晶格振动）无关，U(V)是T=0时的晶格的结合能；（2）F2则和晶格的振动有关。 由统计物理知道 式中Z是晶格振动的配分函数。对于频率为的格波 ， 配分函数为 （2） （1）晶格的自由能 （3） 忽略格波之间的相互作用，则总的配分函数为 代入到（2）式，得 所以 （4） （5） （6） 自由能中晶体内能U(V)是晶体体积的函数，同时，当晶体体积改变时，格波频率也将改变，即格波频率?i也是晶体体积的函数。由（1）式和（6）式，我们得到 （7） （2）晶格状态方程 利用上式的假定，则（7）式可以写为： 上式称为格林爱森晶格状态方程。 是个和频率无关的常数，称为格林爱森常数。 和晶格的非线性振动有关。 的格波的振动能量。 是频率为 （8） （3）固体热膨胀系数 对于大多数固体，体积的变化不大，因此可将 在静止的晶格的平衡体积 V0点展开，则有 （9） 按照定义，第一项为零，如果只取线性项，则上式变为 是在体积为V0时的体积弹性模量。 将（10）式代入（8）式，得 （10） （11） 固体热膨胀是在不施加压力（P=0）的情况下，体积(V)随温度(T)的变化。由(11)式，当P=0时有： 上式指出，热膨胀和非线性振动有关。如果晶体作严格的线性振动，? = 0，则没有热膨胀现象发生。对大多数固体，? 的值在1~3范围内。此外，体膨胀和热振动成正比例。 （8）式的第一项是与势能有关的压强，第二项是与晶格热振动有关的压强，称为热压强。用 表示热压强，则 (12) 上式对温度求导数，利用热容量定义 得到体积热膨胀系数 该式常称为格林爱森定律。格林爱森定律给出热膨胀系数与热容量成正比；同时取决于格林爱森常数的大小。 由（12），得到 例：一维单原子链的格林爱森常数 一维单原子链的色散关系为 V=Na, N是原子链的原子数。热膨胀现象中，体积 V 发生变化也就是原子平均间距 a 发生变化。力常数β为 对色散关系取对数，再对体积V 的对数求导数，注意到 与a无关，得到一维单原子链的格林爱森常数 即 格林爱森常数与原子间相互作用势能函数泰勒展开式的三次方系数成正比。在简谐近似下，忽略了三次方项和三次方以上的项，即令这些项的系数为零， 其中 ，则格林爱森常数 ? = 0；由于热膨胀系数与格林爱森常数成正比，这时，将不会发生热膨胀。热膨胀是非简谐项引起的效应，是一种非简谐效应。 * (15)式中的展开系数Qq(t)，通常是复数。由于原子的振动位移xn(t)为实量，即 要求简正坐标满足 (16) (17