2010年北京西城区高考一模试题及答案(数学理).docVIP

北京市西城区2010年抽样测试 高三数学试卷（理科）第I卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．函数的最小值和最小正周期分别是（ ） A． B． C． D． 3．设等差数列的前项和为，，则等于（ ）A．10 B．12 C．15 D．30 4．甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A． B． C． D． 5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A． B． C． D． 6．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ） A． B．16 C．24 D．32 7．已知平面区域，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为（ ） A． B． C． D． 8．如图，平面平面，=直线，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线，分别是线段的中点．下列判断正确的是（ ） A．当时，两点不可能重合 B．两点可能重合，但此时直线与不可能相交 C．当与相交，直线平行于时，直线可以与相交 D．当是异面直线时，直线可能与平行第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若，其中，为虚数单位，则 ． 10．已知，，的夹角为60°，则 ． 11．将极坐标方程化成直角坐标方程为 ． 12．如图，切于点，割线经过圆心，弦于点．已知的半径为3，，则 ． ． 13．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为 ． 14．设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数． 如果定义域为的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是 ． 如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的4高调函数，那么实数的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分） 已知为锐角，且． ⑴求的值； ⑵求的值．16．（本小题满分13） 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响． ⑴求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； ⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率； ⑶该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为，求随机变量的分布列和期望． 17．（本小题满分14分） 在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，=90°，，． ⑴求证：平面； ⑵求证：平面； ⑶设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为45°． 18．（本小题满分14分） 椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为． ⑴求椭圆的方程； ⑵设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率． 19．（本小题满分14分） 已知函数，其中． ⑴求函数的零点； ⑵讨论在区间上的单调性； ⑶在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分13分）对于各项均为整数的数列，如果（=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列具有“性质”． 不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”． ⑴设数列的前项和，证明数列具有“性质”； ⑵试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由； ⑶对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时，数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”． C；，A；． 3.C；，于是，B；，D；；；，，故输出C；将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有种排法C；如图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为，小的等腰直角三角形区域为，由面积比知 8.B；若两点重合，由知，从而平面，故有，故B正确． 3；． 10.；． 11.；． 12.； 13.； ，设，，又，故， 于是，当时，取到最小值．