线性代数习题(行列式).docVIP

行列式 §1 行列式的概念 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 15 ，该排列为 奇 排列。 (2) = 8 ， = 3 时， 排列1274569为偶排列。 (3) 阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 负 号；若为偶排列，该项的符号为 正 号。 (4) 在6阶行列式中， 含的项的符号为 十 ，含的项的符号为。 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 解： 该行列式的项展开式中，有 2 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为。 (2) 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 证明：在全部元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：。 ，其中为偶排列数、其中为奇排列数。 若一个阶行列式中等于0的元素个数比多，则此行列式为0，为什么？ 解 由于0元个数比多，故从行列式中任选n个元素出来，必有一个为零。又 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 解：阶行列式中负项的个数为，负项的个数为偶数，则至少满足 则 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1） （2） 注意到该行列式是范德蒙行列式  §2 行列式的性质 利用行列式的性质计算系列行列式。 (1) 第3行与第4行相同。 (2) 按第1列展开按第3列展开 (3) 按第一列展开 证明下列恒等式 (1) （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明） 记 同理可得 注 一般情况不能同时拆几行 (2) 原式 成比例为0 (3) (提示：从最后一列起，后列的倍加到前一列) 已知四阶行列式D的第三行元素分别为：；第四行元素的对应的余子式依次是2，10，，4，求的值。 解 第四行线数余子 ∴ 得 已知1365，2743，4056，6695，5356能被13整除，证明：能被13整除。 （提示：注意观察行列式中第2，3，4，5列元素的特点） ，故结论成立 注意 已知， 求：(1) ； (2) 和。 （提示：利用行列式按行（列）展开的性质计算） （1） =0 （第3列的元与乘以第2列的代数余子式） （2）（行列式展第四行展开） （第二行元与乘以第四行的代数余子式） 有 设，求的根。 解1：首先，行列式展开式中含项，所以有四个根。第一二两行相同0故是的解 同理可知是的根 又 故当时有，从而为方程的根 法二： （下三角行列式） 即，所以根为  §3 行列式的计算 利用三角行列式的结果计算下列阶行列式 (1) （提示：注意各行（列）元素之和相等） (2) （提示：可考虑按第一行（列）展开） 解：按第一列展开 （上三角行列式） （下三角行列式） = (3) （提示：可考虑第一行的倍加到各行，再化为三角行列式） 原式 用迭代法计算下列行列式 (1) 解：按第一行（列）展开，得递推公式：= + 2 。于是 1 = 1 1 = 1 。 由此得： 2 + 3 + （n-1） + n+1 。 (2) 。 解：按第一行展开，有递推公式 (a+b) + (-ab) ，得递推公式： b ① 同理可得： ② 联立①与②，解方程组得： 利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式 (1) ， （提示：利用行列式的性质，先化行列式为标准形式的范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算行列式） 交换次将第行变至第2行 范德蒙行列式 (2) ， 解：在行中提出因子， 4．构造辅助行列式法计算下列行列式 (1) (缺行的范德蒙行列式) 解：构造辅助范德蒙行列式，为中元素的余子式，而 故中元素的系数为 故 故 (2) 解：构造辅助行列式， 则，而 或 用数学归纳法证明： 证明：（1）时，等式显然成立； （2）假定等式对于小于阶的行列式成立； （3）（下证阶行列式成立） 由于，（注：按最后一行（列）展开） =