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第二章 导数与积分 一、理解导数的概念 1.定义：若在处可导，则 【例题1】（1）已知在处可导，且，求。 解： 原式 （2）已知，判断 在处是否可导？并求出值。 解: 2. 在处可导的充分必要条件是在处左、右导数都存在且相等。 （适合分段函数分界点判断可导性） 3.可导必定连续； 连续不一定可导； 不连续必定不可导。 【例题2】研究下列函数在处的连续性和可导性。 ① 解：在处既不连续也不可导。 （左、右极限都存在但不相等） ② 解：左、右连续在处连续。 在处不可导。 ③ 解： 在处连续 在处可导 ④ 解：连续 在处可导，且导数。 【例题3】，若在 分界点一定可导，求。 解：在处可导，在处连续 又 4.在区间上的可导性 ①若在内每一个点都可导，则称在内可导，任取，则 ， 时的导数在处的函数值。 ②若在内可导，且在处 有右导数，在处有左导数，则 在上可导。 例：在内可导，在内连续吗？ 答：在内可导，不能保证在， 处都可导，不能得出在内连续。 （但可以得出在上连续） 二、熟练掌握导数计算的方法 1.基本公式（基本初等函数的导数公式） 2. 例：，求。 解： 3.高阶导数 【例题1】求导 ① 解： ② 解： ③ 解： 【例题2】求导 ① 解： ② 解： ③已知可导且， 求在处的导数。 解：的导数为： 【例题3】①，求。 解： ②，求。 解： ③，求。 解：根据数学归纳法 ④已知二阶可导，求的二阶导数。 解： 三、掌握特殊函数的求导方法 1.隐函数：由二元方程确定。 步骤1：方程，两边对求导。 注意：是自变量！ 步骤2：解出。 【例题1】①由确定，求。 解：两边对求导 得 ②由确定，求。 解：两边对求导 得 2.参数式函数由参数方程 确定。 方法： 【例题2】①由确定，求。 解： ②由确定，求。 解： 3.幂指函数 方法： 【例题3】①，求。 解：，两边对求导 得（复合函数求导注意） ②是由方程确定，求。 解： ，两边对求导 （复合函数求导注意） 四、理解微分概念，了解微分基本公式与运算法则 1.定义：的微分： 2.基本公式与微分法则（同导数） 复合函数的微分法则--微分形式不变性： 不论是自变量还是中间变量。说明： ①：是自变量，； ②，，是中间变量， 的微分： 例：①，求微分时可不考虑，但求导 数时需考虑：（四-2） ② 解出 五、在处是否有定义、是否有极限、是否连续、是否可导、是否可微 之间的关系： 六、掌握写曲线的切线方程与法线方程的方法。 1.若在处可导，则曲线在处的切线方程和法线方程为： 2. 若在处不可导，则曲线在处的切线方程和法线方程为： 【例题1】求曲线平行于直线的切线方程。 解：，由已知得， ，则，切点 所求切线方程为 即。 【例题2】过原点的切线方程。 解：设切点，则 又， 切线方程（曲线过切点，切线也过切点） 所求的切线方程为。 【例题3】求曲线在 处的切线方程与法线方程。 解： 解出 所求切线方程为 所求法线方程为 【例题4】求曲线在处对应的点的切线方程。 解：时， 切点坐标为 切线方程为。 【例题5】求曲线与轴相交的交点处的切线方程。 解：，即，解得 曲线与轴交点有 又， 切线方程为或。 【例题6】为何值时，曲线与相切？ 提示：相同切线，相同切点 解：设点为切点 则， ，， ，， ，，， ，，，。 【例题7】曲线与曲线 在处相切，求与。 解： ， 又，， ，，。 高等数学 第 - 1 - 页 共 6 页