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分形几何 数理基础试验班 李道坚 范宇航 分形几何的起源 　　分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1975年，他创立了分形几何学。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。 分形的历史发展 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支,它的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体。分形理论数学基础是分形几何。 分形理论的发展大致可分为三个阶段。下面简要回顾一下分形理论在这三个历史阶段的发展过程。 第一阶段 为1875年至1925年,在此阶段,人们已认识到几类典型的分形集,并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻划。 ? 19世纪,尽管人们已能区别连续与可微的曲线,但是普遍认为连续而不可微的情形是极为例外 的,并且在理论研究中应排除这类“怪物”,特别认为一条连续曲线上不可微的点应当是极少的。 第二阶段 大致为1926年到1975年,在这半个世纪里,人们实际上对分形集的性质做了深入的研究,特别是维数理论的研究已获得了丰富的成果。 ? 贝西康维奇(Besicovitch)及其他学者的研究工作贯穿了第二阶段。他们研究了曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构、S-集的分析与几何性质、以及在数论、调和分析、几何测度论中的应用。 ? 他们的研究结果极大地丰富了分形几何理论。 第三阶段 从1975年至今,是分形几何在各个领域的应用取得全面发展,并形成独立学科的阶段。 ? 曼德尔布莱特将前人的结果进行总结，集其大成，于1975年以“分形:形状、机遇和维数”为名发表了他的划时代的专著。 专著第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。 此专著的发表标志着分形几何作为一个独立的学科正式诞生，把分形理论推进到一个更为迅猛发展的新阶段。 分形几何与欧几里德几何的区别 一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。 标度不变性 所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域， 对它进行放大，这时得到的放大图形又会显示出原图的形态特性。因此,对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特点均不会变化。所以标度不变性又称为伸缩对称性。 精细结构 任意小局部总是包含细致的结构。 整数维 点是零维的，直线是一维的,平面是二维的。当我们测量几何图形的长度和面积时，分别用单位长线段与单位面积的正方形来度量，因为线段与正方形的欧氏维数分别是1和2 。若用线段来测量正方形，其结果为无穷，说明所用的尺度太“细”；反之，若用正方形为尺度来度量线段，所得的结果为0，说明所用的尺度太“粗”。在测量集合时，其测量结果与所采用的尺度有关。特别是，经典几何对象的测量只容许整数维的尺度。 从整数维到分数维 当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。其实，Koch曲线的维数是1.2618……。 分数维 现在我们从测量的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数。即： 如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的ｋ个图形所组成，有：ｋ= λ^D D即维数 D = logｋ/logλ 其中：（ λ 为线度的放大倍数 ｋ为“体积”的放大倍数） Sierpinski垫圈的