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自 动 控 制 原 理 第七章 线性离散系统的分析与校正 第七章 线性离散系统的分析与校正7-4 离散系统的数学模型 1. 离散系统的数学定义 将输入序列 变换为输出序列 的一种变换关系，称为离散系统。记作 2. 线性常系数差分方程及其解法 * 与连续系统类似，要对离散系统进行分析和设计，首先就要对离散系统建立数学模型。描述离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间等几种，我们只介绍前面二种。 线性离散系统； 线性定常离散系统； (1) 差分：两个系统相邻采样点信息之间的差值，即差分，近似于微商的概念。 (2) 差分的阶：取差分时，采样点间信号变化率的不同称为差分的阶 一阶差分： 1）与差分方程有关的几个概念 二阶差分： … m阶差分： (3) 差分的方向：设当前采样时刻为n，根据当前时刻的差分与相邻的数据间的依赖关系，可把差分分为前向差分和后向差分。 前向差分：n时刻各阶差分的获得依赖于n时刻及未来时刻n+1,n+2…数据 二阶前向差分： 一阶前向差分： 后向差分：n时刻各阶差分的获得依赖于n时刻及历史时刻n-1,n-2…数据 一阶后向差分： 二阶后向差分： 在自动控制系统中，由于差分的对象是采样控制系统，具有因果关系，即当前时刻的数据与历史时刻的数据联系密切。因此经常采用的是后向差分，前向差分应用较少。我们讨论的也主要是后向差分。 2）差分方程 与连续系统的微分方程相类似，离散系统的输入-输出的关系可与采样时刻及历史时刻的输入和输出都有关系，其一般的表达式为： 即： 如果ai和bi均为常系数，上式为常系数线性差分方程。由于m≤n，上式称为n阶线性常系数差分方程。它在数学上代表一个线性定常离散系统。 3）差分方程的求解 差分方程的求解也有经典法，但用起来十分不便。工程上常用的两种方法：迭代法和z变换法。 (1) 迭代法 例: 差分方程c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)，初始条件：r(k)=1,c(0)=0,c(1)=1。试用迭代法求出输出序列c(k),k=0,1,2…10. 根据给定的差分方程与输出序列的初始条件，就可以用递推关系，一步一步求出输出序列。该过程可由计算机来完成。 c(0)=0 c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=1+5-0=6 c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=1+5*6-6*1=25 c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=1+5*25-6*6=90 c(1)=1 c(5)=r(5)+5c(4)-6c(3)=1+5*90-6*25=301 c(6)=r(6)+5c(5)-6c(4)=1+5*301-6*90=966 解： c(7)=r(7)+5c(6)-6c(5)=1+5*966-6*301=3025 c(8)=r(8)+5c(7)-6c(6)=1+5*3025-6*966=9330 c(9)=r(9)+5c(8)-6c(7)=1+5*9330-6*3025=28501 c(10)=r(10)+5c(9)-6c(8)=1+5*28501-6*9330=86526 给定差分方程后，先用z变换的实数位移定理对差分方程取z变换，得到z的代数方程，再对代数方程取z反变换，即得脉冲序列c(k)。 例:差分方程c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0，初始条件：c(0)=0,c(1)=1 解：对上式两边取拉氏变换： Z变换法求解 所以上式变为： 或 3.脉冲传递函数 (1) 脉冲传递函数定义： 在离散系统中，在初始条件为零的情况下，系统离散输出信号的z变换与离散输入信号的z变换之比，就是脉冲传递函数。 脉冲传递函数方块图如图： G(s) G(s) R(s) R*(s) s1 s1 C(s) C*(s) R(s) R*(s) G(z) G(z) C(s) s2 s2 (2) 脉冲传递函数的意义 对于线性定常离散系统，如果输入为单位序列： 则系统输出称为单位脉冲响应序列： 当输入脉冲序列沿时间轴后移 k 个采样周期，成为 时，输出单位脉冲响应也相应后移 k 个采样周期，成为 。 线性定常离散系统中，如果输入采样信号为： 则系统的输出响应序列为： 若令加权序列的 z 变换 则由z 变换的卷积定理： 脉冲传递函数的含义： 系统脉冲传递函数G(z)，等于系统加权序列 K(nT) 的 z 变换。 如果描述线性定常离散系统的差分方程为 在零初始条件下，对上式进行 z 变换,可得 例: c(nT)=r[(n-k)T],求G(z) 解