第一讲、不等式的性质.docVIP

不等式 第一讲、不等式的性质及证明 一、基础知识【理解去记】 ***【必会】不等式的基本性质： （1）aba-b0； （2）ab, bcac； （3）aba+cb+c； （4）ab, c0acbc； （5）ab, c0acbc; （6）ab0, cd0acbd; （7）ab0, n∈N+anbn; （8）ab0, n∈N+; （9）a0, |x|a-axa, |x|axa或x-a; （10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b∈R，则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab; （12）x, y, z∈R+，则x+y≥2, x+y+z 因为前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。 （6）因为ab0, cd0，所以acbc, bcbd，所以acbd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a≤b，与ab矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2≥0，所以x+y≥，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥，等号当且仅当x=y=z时成立。 二、基础例题【必会】 1、不等式的性质 例1、若ab0，则下列不等式中不一定成立的是(　　) A. B. C. D.|a|－b [答案]　B [解析]　取a＝－2，b＝－1，逐一检验即可知选B. 若ab，则下列不等式正确的是(　　) A. B．a3b3 C．a2b2 D．a|b| [答案]　B [解析]　若a＝1，b＝－3，则，a2b2，a|b|，知A、C、D错误；对于函数f(x)＝x3，f ′(x)＝3x2≥0，故函数f(x)＝x3为增函数，若ab，则a3b3，故选B. 已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是[－，－]，则不等式x2－bx－a0的解集是(　　) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C．(，) D．(－∞，)∪(，＋∞) [答案]　A [解析]　由题意知－、－是方程ax2－bx－1＝0的根，由韦达定理得，－＋(－)＝，－×(－)＝－. ∴a＝－6，b＝5， 不等式x2－bx－a0即为x2－5x＋60，∴2x3. 若关于x的不等式(m－1)x的解集为{x|0x2}，则实数m的值是(　　) A. B．1 C．2 D．0 [答案]　C [解析]　在同一平面直角坐标系中画出函数y＝和y＝(m－1)x的图象，结合题意及图象可知，函数y＝(m－1)x的图象必经过点(2,2)，即有2(m－1)＝2，求得m＝2.故选C. 1的一个充分不必要条件是(　　) A．xy B．xy0 C．xy D．yx0 [答案]　B 已知0ab，且a＋b＝1，则下列不等式中，正确的是(　　) A．log2a0 B．2a－b C．2＋ D．log2a＋log2b－2 [答案]　D [解析]　当a＝，b＝时A不成立； 对B有2a－b?2a－b2－1?a－b－1， 又a＋b＝1，可得a0，与a0矛盾； 对C有2＋?2＋2－1?＋－1，与＋2(∵a≠b，且a0，b0)矛盾，故选D. 已知p：?x∈R，mx2＋2≤0，q：?x∈R，x2－2mx＋10，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥1 B．m≤－1 C．m≤－1或m≥1 D．－1≤m≤1 [答案]　A [解析]　∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题． 由p：?x∈R，mx2＋2≤2为假，得?x∈R，mx2＋20， ∴m≥0.　 ① 由q：?x∈R，x2－2mx＋10为假，得?x0∈R，x－2mx0＋1≤0， ∴Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1.　 ② 由①和②得m≥1，故选A. 已知0a，且M＝＋，N＝＋，则M、N的大小关系是(　　) A．MN B．MN C．M＝N D．不确定