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山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 第十章 习题课 基本内容 典型例题 曲线积分与曲面积分 1 各种积分之间的联系 2 场论初步 3 一、主要内容 曲线积分 曲面积分 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对弧长的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 定义 计算 定义 计算 联系 联系 （一）曲线积分与曲面积分 曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 联系 计 算 三代一定 二代一定 (与方向有关) 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定义 联系 计 算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关) 定积分 曲线积分 重积分 曲面积分 计算 计算 计算 Green公式 Stokes公式 Guass公式 (二)、各种积分之间的联系 1.定积分与不定积分的联系 牛顿--莱布尼茨公式 2.二重积分与曲线积分的联系 格林公式 理论上的联系 3.三重积分与曲面积分的联系 高斯公式 4.曲面积分与曲线积分的联系 斯托克斯公式 梯度 通量 旋度 环流量 散度 三、场论初步 一、曲线积分的计算法 1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) (1) 统一积分变量 转化 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 练习题: P246 题 3 (1), (3), (6) 解答提示: 计算 其中L为圆周 提示: 利用极坐标 , 原式 = 说明: 若用参数方程计算, 则 P246 3 (1) P184 3(3). 计算 其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2? 的一段弧. 提示: P184 3(6). 计算 其中?由平面 y = z 截球面 提示: 因在 ?上有 故 原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向. (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 . 2. 基本技巧 例1. 计算 其中? 为曲线 解: 利用轮换对称性 , 有 利用重心公式知 (?的重心在原点) 思路: 闭合 非闭 闭合 非闭 补充曲线或用公式 解 解 (如下图) P185 10. 求力 沿有向闭曲线 ? 所作的 功, 其中 ? 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 提示: 方法1 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 利用对称性 角形的整个边界, 设三角形区域为? , 方向向上, 则 方法2 利用斯托克斯公式