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学智教育数学组试题(1) 出题人：方成 1.一个圆作滚动运动（如图），它从位置A开始，在与它相同的其它六个圆上部滚动，到达B位置（六个圆的圆心与A、B在同一直线上），则该圆上某一定点绕其圆心共滚过的圈数为（　　）圈． 2.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为　_________　． 3.如图，⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（，0），CAB=90°，AC=AB，顶点A在⊙O上运动． （1）当点A在x轴上时，求点C的坐标； （2）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由； （3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值； （4）当直线AB与⊙O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式． 4.（动点问题）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 参考答案 3．（1）当点A的坐标为（1，0）时，AB=AC=-1，点C的坐标为（1，-1）； …………………………………………………………………1分 当点A的坐标为（-1，0）时，AB=AC=+1，点C的坐标为（-1，+1）；………2分 （2）直线BC与⊙O相切……………………………………………………………………3分 过点O作OM⊥BC于点M， ∴∠OBM＝∠BOM=45°, ∴OM=OB·sin45°=1……………………………………………………………………4分 ∴直线BC与⊙O相切……………………………………………………………………5分 （3）过点A作AE⊥OB于点E 在Rt△OAE中，AE2=OA2-OE2=1- x2， 在Rt△BAE中，AB2=AE2+BE2=(1-x2) +（-x）2=3-2x ∴S=AB·AC= AB2=(3-2x)= ……………………………………6分 其中-1≤x≤1， 当x=-1时，S的最大值为，……………………………………………………7分 当x=1时，S的最小值为．……………………………………………………8分 （4）①当点A位于第一象限时(如右图)： 连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E ∵直线AB与⊙O相切，∴∠OAB=90°， 又∵∠CAB=90°， ∴∠CAB+∠OAB=180°， ∴点O、A、C在同一条直线上 ∴∠AOB=∠C=45°， 在Rt△OAE中，OE=AE=． 点A的坐标为（，）……………………………………………9 过A、B两点的直线为y=－x+．……………………………………10分 ②当点A位于第四象限时(如右图)： 点A的坐标为（，－）………………………………………11分 过A、B两点的直线为y=x－．…………………………………… 4.解：(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形. (2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以S△BPQ=×BP×QE=(6-t)×t=－t2+3t； (3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos600=×2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=t,又因为∠PEQ=900,所以∠A