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一元二次方程根与系数关系及其应用 【学习目标】 1、学会用韦达定理求代数式的值。 2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。 3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。4、能应用韦达定理分解二次三项式。 知识框图： 求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程 解特殊的二元二次方程组 二次三项式的因式分解等 韦达定理：一元二次方程如果有两实数根，那么。 韦达定理逆定理：如果且，则是的两根。 一、不解方程，判别一元二次方程两根的符号。? 例1：不解方程，判别方程两根的符号。 ? 解： 说明：判别根的符号，要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来， ＜0，两根一正一负；若＞0，还要看的正负方可判别。? 二、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 ? 例1：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一： 解法二：? 练习;若x1 =是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝ ，该方程的另一个根x2 = . 三、计算根的对称式的值 例 若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 解：由题意，根据根与系数的关系得： (1) (2) (3) (4) 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ，，， ，， 等等．韦达定理体现了整体思想． 【练习】 1．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ，（x1－x2）2＝ 2．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k= ; 3．若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ; 四、已知一元二次方程两根之间关系，求字母系数值或取值范围。 例1：已知方程的两个根的平方和比两根的积大21，求的值。 解：∵方程有两个实数根， 　∴△，解这个不等式，得≤0 　　设方程两根为 　则且 ?∵，∴?解得：? 又∵，∴ ? 【练习】：1、已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由， 解：? 答案：当且m≠0时，两根能同号 2、一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。 解： 答案： 五、构造新方程求方程组 的解： 以两个数为根的一元二次方程是。 例 解方程组 解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的两根,由方程①解得 z1=2,z2=3 ∴原方程组的解为 .此法比代入法要简单得多。 六、按已知条件求作新方程 例1、已知方程2x2+4x-3=0,不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根是已知方程两根之和的倒数，另一个根是已知方程两根差的平方. 分析：应先求出已知方程的两根之和的倒数及已知方程两根差的平方，然后再用已知两根写出方程的方法，写出所求方程. 解： 　　 答案：【练习】：1.以方程＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ） （A） +5y－6 = 0 （B）+5y＋6 = 0 （C）－5y＋6 = 0 （D）－5y－6 = 0 2.如果α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于 和 七、二次三项式的因式分解 二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式的方法有三种，即 1．利用完全平方公式；　2．十字相乘法：即x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)；acx2+(ad+bc)x+bd＝(ax+b)(cx+d)． 3．求根法：ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)， 　　(1)当b2-4ac≥0时，可在实数范围内分解； (2)当b2-4ac＜0时，在实数范围内不能分解． 形如ax2+bxy+cy2：可令ax2+bxy+cy2=0（此处将x看成未知数，而y作为已知数） 练习⑴4x2+8x-1 （2）27x2-4x-8 ⑶2x2-5x-3 ⑷2x2-