20100106复变函数B期末试题B.docVIP

判断题（分）：是一个有界函数. （ ）设函数在复平面上解析，若它有界，则必为常数. （ ）若是的极点，则. （ ）若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则. （ ）若函数在在存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点. （ ）如果函数在内解析，则 单项选择题(本大题共3×4＝12分) 下列结论不正确的是 . A. 如果在闭曲线C围成的闭区域上除极点外解析，则在上只有有限个奇点； B. 函数“在区域D内解析” 与“在区域D内积分与路径无关” 等价； C. 函数在扩充复平面内的孤立奇点（包括无穷远点）的留数之和为零； D. 函数在区域内解析的充要条件是在内是的共轭调和函数. 方程 在|z|1内根的个数为 . （A） 0； （B）1； （C） 5； （D）8. 已知将区域保角地映射成区域 . A. ； B. ； C. ； D. . 4. 设为正向圆周,那么的值是 A. ； ； C. ； D. 三、填空题（本大题共3×6＝18分） 当 时，函数在区域 内解析. 函数在处的泰勒展开式为． 设函数 C：，则 . 的主值为__________________________________. . 函数 在扩充复平面上的所有奇点分别是 ，它们的奇点类型分别是 （极点要指出其级）. 四、 计算题（本大题共6×3＝18分） 1. 设C为正向圆周|z|=1，求I=. 2. 利用留数求积分 的值. 3. 利用留数计算积分的值. 五、共形映射（7×2＝14分） 1. 试作一单叶解析函数w=f(z)，把|z|1映射成|w|1,并且使f(0)=1/2，f’(0)0 . 2. 求将扇形域 映射成单位圆|w|1的函数(需要画图). 六、 证明题（8×3＝24分） 利用柯西不等式证明：设函数在圆 内解析，且在上连续，4020是在上取得的最大值，证明：． 用两种方法证明0是函数的本性奇点。 叙述并证明代数学基本定理。 A卷第 1 页 共 6 页 上 海 交 通 大 学 试 卷（ A 卷） （ 2009 至 2010学年 第一学期 ） 班级号_______________________ 学号______________ 姓名 课程名称 复变函数B 成绩 我承诺，我将严格遵守考试纪律。 承诺人： 题号 一 二 三 四 五 六 七 得分 批阅人(流水阅 卷教师签名处)