第2章矩阵201011104.ppt

第二章 矩阵 求解线性方程组的更加重要工具是矩阵。矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数的主要研究对象，是学习以后各章的基础，在自然科学、工程技术和经济领域都有广泛的应用。 主要内容 矩阵的加、减法，数乘，乘法，矩阵的求逆，以及矩阵的分块运算. 节目录 矩阵 矩阵的运算 逆矩阵 矩阵的分块 第1节 矩阵 矩阵概念的引入 矩阵的定义 一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 第二节 矩阵的运算 矩阵的加法 数与矩阵相乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 方阵的行列式 共轭矩阵 一、矩阵的加法 定义3 三、矩阵与矩阵相乘 几种特殊的矩阵 对角矩阵 单位矩阵 纯量（数量）矩阵 三角形矩阵 对称矩阵 第四节 逆矩阵 逆矩阵的求法 矩阵多项式 计算Ak和Φ(A)的方法 第四节 矩阵分块法 一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算规则 例 17 证明 A=0 ??ATA=O 克莱姆法则（略） 思考题解答 定义 行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵.记为A*。 伴随矩阵 由行列式性质知，AA*=A*A=|A|E. 定义 n阶矩阵A， 当行列式|A|=0时，称为奇异矩阵；当行列式|A| ≠ 0时，称为非奇异矩阵. 定理1 若矩阵A可逆，则|A| ≠ 0（即A为非奇异矩阵）. 证 设A可逆，则 由AA-1=E，有|AA-1|=|E|，即有 |A||A-1|=1，所以|A|≠0，即A非奇异. 证 设A非奇异，即|A|≠0. 由行列式性质知，AA*=A*A=|A|E. 所以，A可逆，且 定理2 若 |A| ≠ 0，则矩阵A可逆，且 推论 若AB=E（或BA=E），则B=A-1 逆矩阵的运算性质 证明 证明 (4) 若A可逆,则A也可逆,且(AT)-1=(A-1)T. 注：|A|-1指A的行列式的倒数 例10 求二阶方阵的逆矩阵： 解 例11 求方阵 的逆矩阵. 解 =2≠0 同理可得 故 例12 设 提示： X=A-1CB-1 例 注：关键思想是变换出等式： A( ？)A=E 或 ( ？)A=E ( A +2E )( ？ ）= E 解 例 A-1=diag(1,1/2,1/3,1/4,1/5) 注：对角矩阵A的逆矩阵也是对角矩阵，其主对角线上元素，都A的主对角线上无线的倒数。 设x的m次多项式 设A为方阵，记 Φ(x)=a0+a1x+…+amxm 称为A的多项式。 Φ(A)=a0E+a1A+…+amAm 容易得出：Φ1(A) Φ2(A)=Φ2(A) Φ1(A) 设有n阶矩阵A、B、P，便得P-1AP=B（是对角阵），则P-1AkP=Bk ，因而有AK=PBKP-1。进而有：Φ(A)=PΦ(B)P-1。 设 则 例13 已知AP=P∧,求Ak 例14 已知AP=P∧，φ(x)=x3+2x2-3x， 求φ(A) =Pφ(∧)P-1 P-1AP=∧ A=P∧P-1 Ak= P∧kP-1 矩阵的分块 分块矩阵的运算法则 小结 　　对于行数和列数较高的矩阵A ，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 例 即 即 例3 计算下列乘积： 解 解 原式= 解法一 例4 由此归纳出 用数学归纳法证明 当 时，显然成立. 假设 时成立，则 时， 所以对于任意的 都有 解法二 记 则 故 定义5 将m×n矩阵A的行与列互换，得到n×m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT 或A. 例 四、转置矩阵 转置矩阵的运算性质 P39 例7 已知 解法1 解法2 例如 是一个3 阶方阵. (2)只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量). 行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶 方阵.也可记作 只有一列的矩阵： 称为列矩阵(或列向量). 称为对角 矩阵(或对角阵）. （3） 形如 的方阵, 以上对角矩阵记作 （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m×n零矩阵记作Om×n或O. 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如 （5）主对角线上元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记为E或I. 对于单位矩阵有 （6）主对角线上元素全相同的对角矩阵，称为纯量（数量）矩阵. 对n行的矩阵B： 对n列的矩阵B： （7）主对角线以下元素全为0的矩阵，称为上三角形矩阵.主对角线以上元素全为0的矩阵，称为下三角形矩阵. 结论：设A、B上(下)三角阵，则kA、A+B、AB仍然是上(