第四讲插值与拟合1.pptVIP

* 第四章 插值与拟合 4.1 代数插值问题 4.2 拉格朗日插值方法 4.3 代数插值的牛顿形式 4.4 差分与等距节点插值公式 4.5 分段线性插值 4.7 数据拟合 插值法与数据拟合是函数逼近的两个重要方法。常用于求函数的近似表达式或推导经验公式。插值法在数值积分、求微分方程数值解等方面也有广泛的应用。 在科学研究和工程中，常常会遇到计算函数值等一类问题。然而函数的关系往往是很复杂的，甚至没有明显的解析表达式。 例如，根据观测或实验得到一系列的数据，确定了与自变量的某些点相应的函数值，而要计算未观测到的点的函数值。 例如，f(x)如下 …… y …… x 为此，我们可以根据观测数据构造一个适当的较简单的函数P(x)，近似地代替要寻求的函数。 这样我们让P(x)近似地通过这些点，使P(x)能大体上反映f(x)的变化趋势，我们称这样的函数逼近问题为拟合问题（如下图）。 定义1 插值节点 插值条件 4.1 代数插值问题 插值区间 定义 问题：代数插值问题是否一定存在？是否唯一？ 定理1 则满足插值条件 的插值多项式 是存在且唯一的。 且满足 证明 此方程组的系数行列式为n+1阶范德蒙行列式 由Cramer法则, 方程组有唯一解。定理得证。 (1) 虽然上面定理证明线性方程组推出的插值多项式存在且唯一，但通过解上线性方程组求插值多项式却不是好的方法。 （2）在插值问题中，最常用的插值函数就是多项式函数。这是因为多项式计算简单，计算机能直接处理，任何多项式的导数和不定积分也易于确定，而且仍然是多项式。 说明： (4) 插值法的发展历史悠久，早在公元六世纪，我国刘焯已将等距二次插值应用于天文计算，十七世纪，Newton和Gregory建立了等距节点上的一般插值公式。十八世纪，Lagrange给出了更一般的非等距节点上的插值公式。 一、线性插值 首先考虑最简单的插值问题： 4.2 拉格朗日插值方法 设直线方程为 则 线性插值 上述形式可以改写为 二、二次插值（抛物线插值） 方法1 利用插值条件，可容易求得 于是得 此式称为二次插值的Lagrange形式。 若记 方法2 代入插值条件，可容易求得 于是得到二次插值的另一种表达形式 三、Lagrange插值法 对于一般情形，如下表给出的插值节点 …… y …… x 当构造不超过n次的插值多项式Pn(x)时，我们也想将它写成如下容易记忆的形式： 显然，此时有 满足插值条件。 下面来考虑如何求出 。 称上式的 为Lagrange插值基函数,相应的多项式