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动点问题的突破口—特殊点 天津市静海县沿庄镇中学（301605） 刘家良 在近年的中考试题中，动点问题的题型备受青睐。解答这类题型，面应对不确定的因素应有分类讨论的意识，通过以“特殊点”为突破口，进行分类，确定自变量的取值范围，分别画出反映不同变化规律的图形，进而，揭示变量之间存在的关系。现举三例： 例1 （2004年天津市中考题）已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，P从A点出 发，沿A→B→C→E运动到达点E。若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，则当y=时，x的值等于 。 分析：当P从A点出发，沿A→B→C→E运动到达点E时，考虑到B、C、E为特殊点，所以欲求x的值，需分别考虑点P位置变化的三种情形，即点P在边AB上、点P在边BC上及点P边CE上。 解：（1）当点P在边AB上运动即 0﹤x≤1时，如图1，过点E作 EF⊥AB，点F为垂足。由S△APE= AP·EF得，x·1=，解得x=。 （2）当点P在边BC上运动即1﹤x≤2 时，如图2，BP=x－1,CP=2－x, 由S△APE=S梯形ABCE－S△ABP－ S△ECP，得=·1- (x－1)·1- ·(2－x)· ， 解得x=。 (3)当点P在边CE上运动即2﹤x≤时， 如图3，由（-x）得x=， 而﹤2，∴点P在边CE上的情形 不存在。 综上，当y=时，x的值等于或。 评析：情形（3）中注意类比与对比，舍去x=，即点P不存在。 例2（2007年天津市大港实验区中考试题）在△ABC中，∠ABC=900，AB=BC，AC=2a，动点P、D分别以A、B为起点同时出发，其中点P沿线段AC匀速运动至点C结束，点D沿直线BC匀速运动，在点P、D运动的过程中，始终满足PB=PD。过点B、D向直线AC作垂线，垂足分别为F、E。设AP的长为x。 （1）求BD的长（用含x的式子表示）； （2）在点P、D的运动过程中，请你猜想 线段PF与CE的长有怎样的关系？并证明 你的猜想； (3)设以点P、B、D、E为顶点 的四边形面积为y，请写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 分析：（1）如图1，2，在△BPD中， 注意到BD为底边，根据等腰三角形三线 合一的性质可过点P作底边BD的高线PM， 考虑到∠A=45°，过点P作PN⊥AB于点N， 则可建立BD与AP的关系。 （2）从BF=CF可知，点P 从点A运动到点F时,则点D从点 B运动到点C,此时，点F为特殊点， 故此，考虑点P在点A、F间运动 （如图1）和点P在F、C间运动（如图2）的两种情形。 （3）图1中的四边形PBED的面积转化为三角形的面积差，图2中的四边形PBED的面积利用等积替换法，转化为一个可求三角形的面积。 解：（1）如图1、2，BD=2BM=2PN=2AP·sinA=2x·sin45°=x。 评析：点D的速度是点P的速度的倍。 （2）如图1，当点P在点A和点F之间运动即0≤x≤a时，则点D在点B和点C之间运动，PF=AF-AP=a-x。在Rt△CDE中，CD=BC-BD=a-x，CE=CD·sinC=（a-x）·sin45° =a-x，∴PF=CE；如图2，当点P在点F 和C之间运动即a＜x≤2a时，则点D在BC延长线上运动，PF=x-a，在Rt△CDE中，CD=BD-BC=x -a， CE=CD·sinC=x-a，∴PF=CE。综合图1、2，可见在点P、D的运动过程中，始终有PF=CE。 (3) 如图1，当0＜x﹤a时，S四边形PBED=S△ABC-S△ABP-S△CDE=；如图2，当a＜x＜2a时,∵∠DCE=45°， ∠DEC=90°，∴DE=CE，由（2）知，PF=CE，∴DE=PF，又PB=PD，∴Rt△BFP≌Rt△PED，∴S△BFP=S△PED，∴S四边形PBED=S△BPC+ S△PED+S△BCE= S△BPC+S△BFP+S△BCE=S△BFE=BF·EF=BF·(FC+CE)= a(a+ x-a)= ax；特别地，当x=0，a，2a时，四边形PBED不存在。 综上,得S四边形PBED = 例3（2008年大港区中考模拟试题）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动（点P与点A不重合），直角的一边始终经过点B，直角的另一边与射线DC相交于点Q。探究：设A、P两点的距离为x，问当点P在线段AC上滑动时，△PCQ能否成为等腰三角形： （用“能”或“不能”填空）若能，直接写出使△PCQ成为等腰三角形时相应的x值；若不能，请简要说明理由。 分析：首先，注意到点P在对角线AC中点处 的特殊情形