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不等式 一、选择题 1．“x”是“不等式|x－1|1成立”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.不等式|x－1|1的解集为(0,2)， ?(0,2)，故选A. 2．若0，则下列结论正确的是(　　) A．a2b2　　　　　　　　　B．abb2 C.＋2 D．|a|＋|b||a＋b| 解析：选C.由0，得ba0，显然A，B，D不成立；a，b同号，且≠，＋2恒成立． 3．若正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.＋有最大值4 B．ab有最小值 C.＋有最大值 D．a2＋b2有最小值 解析：选C.由基本不等式，得ab≤＝，所以ab≤，故B错；＋＝＝≥4，故A错；由基本不等式得≤ ＝ ，即＋≤，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D错．故选C. 4．(2011年高考重庆卷)若函数f＝x＋在x＝a处取最小值，则a＝(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 解析：选C.f＝x＋＝x－2＋＋2. x2，x－20. f＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4， 当且仅当x－2＝，即x＝3时，“＝”成立． 又f在x＝a处取最小值．a＝3. 5．若不等式组所表示的平面区域是一个四边形，则a的取值范围是(　　) A. B．(0,1] C. D. 解析：选C.作出不等式组中的前三个不等式所表示的平面区域，此平面区域的三个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B，第四个不等式x＋y≤a表示的是斜率为－1的直线的下方，如图，只有当直线x＋y＝a和直线2x＋y＝2的交点介于点A，B之间时，不等式组所表示的平面区域才是四边形，此时1a.故选C. 二、填空题 6．(2011年高考上海卷)不等式≤3的解集为________． 解析：原不等式等价于－3≤0≤0?≥0?x(2x－1)≥0且x≠0，解得x≥或x＜0. 答案： 7．已知向量a＝(x,2)，b＝(1，y)，其中x，y都大于零．若a·b≤4，则y－x的取值范围为________． 解析：依题意得，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线y－x＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点(0,2)与(4,0)时，相应直线在x轴上的截距达到最小与最大，y－x分别取得最大值与最小值，即y－x的最大值与最小值分别是2与－4，结合图形(图略)可知，y－x的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2] 8．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________． 解析：由题意得， 3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000， 化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0， 解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)． x≥20，即x的最小值为20. 答案：20 三、解答题 9．设集合A＝{x|x24}，B＝{x|1}． (1)求集合A∩B； (2)若不等式2x2＋ax＋b0的解集为B，求a，b的值． 解：A＝{x|x24}＝{x|－2x2}， B＝{x|1}＝{x|0}＝{x|－3x1}， (1)A∩B＝{x|－2x1}． (2)因为2x2＋ax＋b0的解集为B＝{x|－3x1}，所以－3和1为2x2＋ax＋b＝0的两根． 故所以 10．已知非负实数x，y满足 (1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域； (2)求z＝x＋3y的最大值． 解：(1)由x、y取非负实数，根据线性约束条件作出可行域，如图所示阴影部分． (2)作出直线l：x＋3y＝0，将直线l向上平移至l1与y轴的交点M位置时，此时可行域内M点与原点的距离最大，而直线x＋y－3＝0与y轴交于M(0,3)． zmax＝0＋3×3＝9. 11．已知函数f(x)＝x3＋x2－2ax－3，g(a)＝a3＋5a－7. (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在区间[－2,0]上不单调，且x[－2,0]时，不等式f(x)g(a)恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2－2x－3，定义域为R， f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)． 令f′(x)0，得x－1或x2. 函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)． (2)f′(x)＝x2＋(a－2)x－2a＝(x＋a)(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－a. 函数f(x)在区间[－2,0]上不单调， －a(－2,0)，即0a2. 又在(－2，－a)上，f′(x)0，在(－a,0