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2018-03-15 发布于贵州
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第一节引言随机微分方程即将随机价格的变动分解为可预测和不可预测两部分，且分解过程用到在时刻t的信息集。对于不同的市场参与者来说他拥有不同的信息集，那么随机微分方程的含义不同。如：假如一个市场参与者拥有“內幕信息”，可事先获知影响价格变动的所有随机事件，则在这种（非现实）情况下上式中的扩展项等于零。首页随机微分方程的具体形式以及误差项的定义都要依赖于信息集即维纳过程与信息集相对应。原因参与者知道将如何变化，他就能完全预测这一变量，即对任一时刻而言都有因此这类参与者的随机微分方程可写作而其他参与者的随机微分方程则是不变。表明首页随机微分方程可用于对衍生金融资产定价的原因对于标的资产的价格是如何随时间而发生变动，此方程不但给出一个规范的模型，而且其推导过程与金融市场中的交易者行为是一致的。实际上：在一个给定的交易日中，随着时间的推移，交易者总是不断地预测资产的价格并随时记录新事件的发生。这些事件中总会包含一些不可预测的部分，但过后这些不可预测部分也会被观测，此时这些事件均已成为已知事件，并变为交易者拥有的新信息集的一部分。首页随机微分方程模型一般条件即随着时间地推移，主参数和扩展参数不会发生太大幅度地变动。返回首页第二节随机微分方程的求解随机微分方程所含未知数是一个随机过程，因而求其解就是要找寻一个随机过程，使其运动轨迹及发生概率都与其它需准确测量的轨迹相关联。一、解的含义首页观察在很短的且不连续的时间间隔上的有限差若此方程的解是一个随机过程，则意味着 1、如何找到一系列用ｋ来标识的随机变量，以满足上式中的增量 2、能否知道满足方程的随机过程的时态函数和分布函数。 3、对任一给定的和，能否找到一系列的随机数对于所有的ｋ而言都满足上面的等式。首先首页再寻求当时间间隔h趋于0时的方程的解其次如果连续的时间过程，满足下列方程则定义是随机微分方程的解。首页注如果被积函数不是非预期的，则不能保证用来构建Ito积分的部分求和的均方值会收敛为一个有效的随机变量，即Ito积分根本就不存在。二、路径积分考察在期间[0，T]内资产价格间隔长度为分割：且有首页假设一个金融分析家要计算积分其有限求和形式为取特殊路径则显然但路径积分在随机过程中并不一定收敛。如首页取符号函数则有即故此路径积分在随机过程中不收敛。注路径积分意义在计算路径积分时，没有用到与相联系的概率，而是用实际测值来计算的。另一方面，Ito积分是用均方收敛值来计算并由随机等式来决定。非预期重要性由于可预测的符号，函数能“看到未来情况”，则求和公式中各部分都为正，当n增加时，就会发散。首页三、Ito积分存在性存在的条件是也就是说的均方会收敛到某个称为Ito积分的随机变量首页四、相关性 Ito积分是一随机过程，因此它有各种不同的量一次量即二次量协方差方差返回首页第四节 Ito定理及应用在随机环境中，导数的概念是不存在的，资产价格的变动被认为是不可预测的，且在连续时间内变动太不规则，导致资产价格可能连续却不光滑，必须用随机微分来代替导数进行计算。Ito规则给出了一个简化随机微分的公式，并给出了详细的计算。一、导数类型在标准计算中，所有变量都是确定型的，可以有三种类型的导数：首页偏导数全微分链式导数导数在金融市场中作用偏导数为计算资产价格相对于风险因子的变化反应提供了一个“乘数”。典型例子：是在计算套期保值参数中用到偏导数，假设一个市场参与者知道的函数形式， 1 则首页因此对维纳过程定义一个关于时间的导数不会有任何困难，但需要知道的不是随时间的变化，而是假定在时间固定情况下，它对的小变化有什么反应。 2 3 全微分是在假定时间和标的资产的价格都发生变动，而导致的变化，其结果就是随机微分。它代表了在时间间隔内衍生资产价格的变化，对市场交易者很有用。在标准计算中，链式导数表示一个变量相对于初始变量经过某些连锁效应的最终变化速率。在随机计算中，链式导数指的是随机微分相互间的关系，也就是全微分的随机形式。首页例1 且则注但全微分同随机事件的实际发生率有关，二者不同