随机过程随机分析及均方微分方程推荐.pptVIP

二、严平稳过程的特点 1 二维概率密度 仅与时间差 有关，而与时间起点无关。 证 同理有一维分布函数也与t无关， 即 一维 首页 对于二维概率密度，有 证 二维 其中 同理 二维分布函数也仅与时间差 有关，而与时间起点无关，即 首页 2 若严平稳过程存在二阶矩，则 证 （2）相关函数仅是时间差 的函数： 记 （1）均值函数为常数： 只对连续型的情况 首页 记 三、宽平稳过程 定义2 如果它满足： 则称 为宽平稳过程， 简称 平稳过程 首页 当T为整数集 或 注2 注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。 平稳时间序列 因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。 因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。 注3 利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程的平稳性。 首页 因为 均值函数 协方差函数 即表示协方差函数仅依赖于 ，而与t无关，与相关函数相同。 首页 例1 试讨论随机变量序列 的平稳性。 且均值和方差为 解 因为 注 在科学和工程中，例1中的过程称为“白噪声”，它是实际中最常用的噪声模型。 首页 二、均方可积准则 定理1 即黎曼积分 存在 证 由均方收敛准则可知， 即 存在 首页 如果上式极限存在，其极限值就是黎曼积分 首页 定理2 证明 由定理1知， 三、均方积分的性质 性质1 首页 性质2 其中 性质3 首页 性质4 性质5 （均方可积的唯一性） 四、均方积分的数字特征 1．随机过程 积分的期望 首页 证 注1 注2 首页 2．均方积分的方差及协方差函数 则 证 首页 注 同样可以证明 3．均方积分的自相关函数及互相关函数 则 首页 证 只证明 其他类似可证 首页 例1 解 在定义中可取 则 所以 首页 例2 解 讨论维纳过程 的均方可积性。 且有 由于 对一切有穷的u存在， 首页 例3 解 设 所以 首页 同样可得 故得 返回 首页 第六节 均方黎曼—司蒂吉斯积分 一、定义 1、有界变差函数 对任意一组点 作和式 变差 如果对一切可能的分组点，变差所形成的数集 有界， 有界变差函数 首页 2、Rieman—Stieltjes积分 记 如果均方极限 存在并与分割和 的取法无关， 首页 则 均方黎曼—司蒂吉斯积分 记为 二、 和 积分存在条件 定理1 首页 则 存在 则 存在 （1） （2） 定理2 且有 注 反之也成立。 首页 定理3 三、期望与二阶矩 返回 首页 第七节 均方导数与均方积分的分布 一、特征函数族 问题 如何利用随机过程的特征函数族，求出其均方导数及均方积分的特征函数族 定理1 其有穷维特征函数族为 （1） 若 的均方导数存在， 有 首页 （2） 有 其中 首页 二、正态过程的均方导数、积分的性质 性质1 即对每个i有 则X也是k维正态随机向量。 性质2 首页 性质3 则 也是正态过程 三、正态过程的均方导数、积分的特征函数 定理2 （1） 特征函数为 首页 （2） 则 返回 首页 第八节 均方微分方程 一、考察随机微分方程 其中 是二阶矩过程， 是二阶矩随机变量。 1 微分方程在均方意义下的唯一解是 2 微分方程解的均值和相关函数 首页 （在 与 独立时 ） 的均值函数 的相关函数 当 注 有 此时有 首页 微分方程的解 的均值函数与相关函数完全由 与 的相关函数所决定。 注 二、考察一阶线性微分方程 其中 是普通的函数， 是二阶矩过程， 是二阶矩随机变量。 1．方程的解 定理1 一阶线性微分方程的解为 首页 证 显然 其次，利用求导验证即可。 首页 2． 均值与相关函数 均值 相关函数 首页 随机微分方程 例1 其中