随机变量的分布函数推荐.pptVIP

第二节 随机变量的分布函数 (三)正态分布 2. 正态分布的密度函数f(x)的图形的性质 (3) 拐点 (μ±σ，f(μ±σ)); 水平渐近线：ox轴. 解:(1)所求概率为 作业： 42-43页 12,13,14,15,17,20 《概率统计》 下页 结束 返回 二、离散型随机变量的分布函数 一、随机变量的分布函数 下页 §2.3 随机变量的分布函数 问题的提出：对于离散型的随机变量，可用其概率分布来刻 划其统计规律性．对于非离散型的随机变量，如何刻划其分布？ 由于讨论非离散型随机变量取一个值概率意义不大，转为 讨论落入某一个区间 (a, b), (a, b], [a, b), (-∞, b), (-∞, b], (a,+∞), [a,+∞) 的概率． 一般选定 {X≤x}区间来讨论P{X≤x}问题. x 下页 §2.3 随机变量的分布函数 一、定义 设X为随机变量，对于任意实数x，称函数 为随机变量X的分布函数. 重要公式 下页 §2.3 随机变量的分布函数 二、性质 设随机变量X的分布函数为F(x), 则 (1) 0≤F(x)≤1; (3) F(x)是x的单调的不减函数; (4) F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续函数. (2) 下页 说明：是若一个函数同时满足以上几条，则该函数一定是 某随机变量X的分布函数. 三、离散型随机变量的分布函数 解: (1) 当x0时， F(x)=P{X≤x}＝Ｐ(Φ)=0 当0≤x1时， F(x)=P{X≤x}＝P{X=0}=1/3 当1≤x2时， F(x)=P{X≤x} ＝P{X=0}+P{X=1}=1/3+1/6=1/2 当2≤x时， F(x)=P{X≤x} ＝P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1 即 下页 其图像为 F(x)的图形是如图所示阶梯形曲 线，在X=0，1，2处有跳跃点， 跳跃距分别为1/3, 1/6, 1/2． 下页 o 1 2 y x (2) 特别注意：F(1)与P{X=1}不是一回事. 下页 四、离散型随机变量的分布函数求法 一般地，设离散型随机变量X的概率分布为 pk = P{X = xk} (k=1, 2, …) 则其分布函数为 这里和式是对所有满足xk≤x的k求和. F(x)的图形是阶梯形， 在x = xk (k=1,2,…)处具有跳跃，其跳跃值为， 下页 引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与 该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数. 解: 若x0，则{X≤x}是一个不可 能事件，于是 若0≤x2，由题意得 若x≥2，则有 所以， §2.４ 连续型随机变量 下页 易证，F(x)是一个连续函数，可表示为 其中 引例中随机变量X具有下列特点：一是X可在某个区间内连续 取值，二是X的分布函数可用非负函数的积分来表示，具有这些 特点的随机变量，即为连续型随机变量。 引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与 该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数. 下页 §2.４ 连续型随机变量 一、定义： 设F(x)为随机变量X的分布函数，若存在非负可积 函数f(x)，使得 则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为 概率密度或密度函数或密度. 二、性质： (1) f(x)≥0 下页 曲线下x轴上所围面积为1 二、性质： (4) 在f(x)的连续点处有： (5) 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0. 由性质(5)可得 §2.４ 连续型随机变量 下页 例1.设随机变量X的密度函数为 求 (1)常数A; (3)分布函数F(x). 解: (1)由于f(x)是一个密度函数, 解得 A=2/3 注:(1)若概率密度中含有待定常 数，可由 确定. (2)Ｘ取值于某区间的概率等 于其密度函数在对应区间的积分. §2.４ 连续型随机变量 下页 例1.设随机变量X的密度函数为 求 (1)常数A； (3)分布函数F(x). 当0≤x＜1时， 当1≤x＜2时， 当x≥2时, 说明：注意分布函数的自变量取值范围的划分. 下页 当x0时, 例2.设连续型随机变量的分布函数为 求：(1)X的密度函数f(x)； (2)P{1X2}. 解： (2) P{1X2}=F(2)-F(1) 分布函数为 下页 (一) 均匀分布 如果随机变量X的概率密度为 分布函数为