复变函数与积分变换复数项级数参考.pptVIP

三、复数项级数的审敛法 幂级数 一、函数项级数 二、幂级数及其收敛性—正幂项级数 三、收敛圆与收敛半径 利用阿贝尔定理，不难确定幂级数的收敛范围 ， 对于任一个幂级数来说，它的收敛情况不外乎三种： 例1 求幂级数 解: 级数实际上是等比级数, 部分和为 收敛半径的求法 例2 求下列幂级数的收敛半径 四、 幂级数的运算和性质 在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这两个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积. 更为重要的是代换(复合)运算 这种代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用. 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 定理一 复数项级数 二、复数项级数的概念 一、复数列的极限 2.收敛特征—Abel定理 定理一 x y O . iii)既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的正实数. 设 (正实数)时, 级数收敛, (正实数)时, 级数发散. 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛. ii)对所有的正实数除 z =0 外都是发散的.这时, 级数在复平面内除原点外处处发散. b Cb a Ca R CR O x y 显然 时,将收敛域染成红色, 发散域为蓝色. 当 由小逐渐变大时, 必定逐渐接近一个以原点为中心, R为半径的圆周CR. 在CR的内部都是红色, 外部都是蓝色. 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆. 在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部, 级数绝对收敛. 收敛圆的半径R称为收敛半径. 所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收敛范围是以 为中心的圆域. 在收敛圆上的收敛性, 则不一定. 的收敛范围与和函数. 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform