行波法与积分变换法-3-0.pptVIP

第三章 行波法与积分变换法 弦振动方程的初值问题——无界弦的自由振动 * * 第三章 行波(Travling Wave)法 与 积分变换(Integral Transforms)法 数学物理方法 行波法的基本想法： 是通过自变量的变换，将方程转化为可以 求通解的形式。 —— “一语道破！” 我们知道，要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是： 先求出它的通解， 然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数， 从而得到特解。 对于偏微分方程，能否采用类似的方法呢 ？一般说来是不行的， 原因之一：在偏微分方程中，相对而言较难定义通解的概念。 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解，但此通解中包含有任意 函数，要由定解条件确定出这些任意函数，往往会遇到很大的 困难。 物理背景： §3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 这种方程的通解很容易求出，而且根据定解条件挑选特解也比较容易 “无限长”细弦的自由横振动； “无限长”杆的自由纵振动； 或电阻、电导都为零的“无限长”传输线上的电流、电压的变化。。 柯西问题 在第二章中，我们较为详细地讨论了分离变量法。它是求解有限域内 定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系 中的方程，能用若干个只含有一个变量的方程表示），对三种典型的方程 均可运用。 在本章中，我们将介绍另外两个求解定解问题的方法： ——只能用于求解无界域内 波动方程的定解问题。 ——不受方程类型的限制，主 要用于无界域，但对有界域也 能应用。 行波法： 积分变换法： 但事情往往并不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的 通解(指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 本节我们就一维波动方程，来建立它的通解公式，然后由它得到初值 （一）达朗贝尔公式（一维波动方程的解） 这里之变换，军事学中被称为： “欲擒故纵”； 或在《老子》的哲学中之：“将欲取之，必先予之”。 问题解得表达式。 这个变换，也称之为特征变换。 利用复合函数微分法则得 同理有 为什么这里的积分限会是如此？ 这样，我们不仅有了通解 而且，还有了满足定解条件的特解 请务必注意积分限的对应关系！ （二）达朗贝尔公式（一维波动方程的解）的物理意义分析： 由于达朗贝尔公式是由通解公式得到的，因此让我们由此开始。 首先，考虑 ，这样的函数是代表一个沿 方向传播的行波。 为了说明这一点，不妨考虑一个特例。 同样道理， 相应表示一个以速度为a，沿 x 轴负方向传播的行波， 称为左行波。达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动，总是以行波的形式，同时分别向两个方向 传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数 a 。基于上述原因，本节所用的方法，便称 其为行波法。 右传播波 左传播波 （三）达朗贝尔公式（一维波动方程的解）的讨论 D’Alembert公式 从上面的达朗贝尔公式可以看出，解在（x，t）点 的数值，仅依赖于 x 轴上区间 内的初 始条件，而与其它点上的初始条件无关。这个区间被称 为点（x，t）的依赖区间。 决定区域 对于初始状态 所对应的一个区间 过 点作斜率为 的直线 ，过 点作斜率为 的直线 [ ] 2 1 , x x ，它们 和 一起构成的三角形区域，如图所示， 被称为决定区域。 决定区域 依赖区间 上图所示的三角形区域中的任意一点（x，t）的依赖区间，都落在了区间 上，因此求解在此三角形区域中的数值，完全由区间 上的初始条件 决定，而与此区间外的初始条件无关。在这个区间上给定初始条件，就可以在其 确定的区域中确定初始值问题的解，这就是被称为决定区域的由来。 影响区域 若过 分别作直线 ，则经历时间 之后，在区 间 上受到的初始扰动影响的区域为